一般五次及以上方程的根和超越数的区别？

首先，来说明什么叫超越数（transcendental numbers）：不是代数数（ algebraic number）的实数或复数叫超越数。代数数是指有理数域上多项式的根。例如

是代数数，因为它是

的解。黄金分割率

也是代数数，它是

的根。显然有理数和整数都属于代数数。

π 和 e是最著名的两个超越数。下面简单说说，代数数的性质。

代数数是可数集

在勒贝格测度意义下，代数数集的测度为0，所以几乎所有的复数都是超越数。

代数数是代数封闭的

任意两个代数数经过加减乘数之后得到的仍是代数数，所以代数数构成了一个数域，是有理数域的扩域。这也意味着在代数数数域下的多项式的根也是代数数，有点绕。我们因此称代数数是代数封闭的（ algebraically closed）。

对于复数 a+bi是代数数当且仅当 a和b都是代数数。

代数数中，有一类重要的可构造数，它是实数域的子域。可构造数是尺规作图问题（典型的像倍立方问题，三等分任意角，正n边形作图）中的关键概念。粗略来说，凡是可以尺规作出的数，都是可构造数。这样的话，无理数π和e都不可能用尺规作得。关于这点，有兴趣的可以参看：http://www.qijihao.com/a=671 其中我简单介绍了可尺规作出的正n边形即n等分圆周的条件，也提及了著名的正17边形的作法。

最后再说一下，代数数的度（degree）。

既然任何一个代数数 a，都是有理系数多项式的根，那么存在唯一的最小多项式（minimal polynomial， 指以a为根的次数最低的首一多项式），如果该最小多项式的次数为n，那么代数数a的度为n。

下图来自于wiki百科 Algebraic number 词条。这是代数数在复平面上的分布图，其中蓝色代表度为4，青色代表度为3，红色代表度为2，绿色代表度为1，单位圆是黑色的。