在研习数学的过程中,以及在生活中,我们总会碰到“比较数量”的问题。有时候,我们很容易给出答案,比如这一筐苹果与哪一篓橘子,哪个数量多?我们只需要数一数就能给出答案。但是还有很多时候,比如上述的3个问题,答案就不是掰着手指头数一数能搞定了。
那么我们在比较数量的时候,依靠的是什么样的原则呢?
比如问题1,直观上所有的偶数都是整数,但整数中的1、3、5等奇数则不是偶数,所以应该整数多;
比如问题2,直观上所有的自然数都是整数,但是0,以及负整数不是自然数,所有应该整数多;
比如问题3,直观上(0,1)内所有的数都包含在(0,2)内,而(0,2)内的1.5、1.6这些数则不在(0,1)内,所以(0,2)内的数多。
以上皆非。我们不能靠直觉判断问题。以上三个问题的答案,都是一样多。
为什么?
对于问题1,每一个整数,我们都能找到唯一一个偶数与之对应;每一个偶数,我们也都能找到唯一一个整数与之对应。即,两类数是一一对应的,所以一样多。比如:任意一个整数n,都有唯一一个偶数2n与之一一对应。反过来,任意一个偶数m,都有唯一一个整数m/2与之一一对应。
对于问题2,每一个整数n,如果n≥0,那么有唯一一个自然数2n与之一一对应;如果n<0,那么有唯一一个自然数-2n-1与之一一对应。反之亦然。
对于问题3,区间(0,1)内任意一个数x,都有(0,2)内唯一一个数2x与之一一对应。反之亦然。
大家可以看到,从这些比较数量的问题中,体现的是一个朴素但很容易被我们漠视的数学思想,即通过一一对应来判断两类数的数量。如果在这类数中的每一个都能在另一类数中找到对应的数,并且这个对应关系是反之亦然的,那么这两类数就是相同数量的。
最后,补充两点:
1、如果0不算偶数,那么问题1的答案会变么,用来判断的对应关系又是什么?
2、问题4:区间(0,1)内的数与整数,哪个多?
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