1.问题的历史背景：“将军饮马问题”
传说早在古罗马时代，亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：如图，将军从军营A出发先到河边饮马，再去同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它，展现了他的个人智慧。从此，这个被称为“将军饮马”的问题广为流传。
2.究其本质，巩固模型。
如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线n表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道。现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短。图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是
A F和C B F和E C D和C D D和E
评析：虽然图形略有改变，但是究其本质，它仍然是我们已建立的基本模型。根据模型易得：输水分管道的连接点是点B关于a的对称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C，故选A。此例关键是抓住模型的本质特征，进一步巩固已经建立的模型，从而达到学以致用的效果。
3.一“模”多变，触类旁通。
通过以上模型的建立，我们把题目做一些变式。
模型变式------ 两定点到直线上一动点的线段距离和最短问题
变式①：“模型”在三角形中
如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值_____。
评析：此例是求两个定点到直线上一个动点距离和最短问题。只要抓住模型的本质特征，作出图形，找到点M的位置并不困难。例如：解法（一）图形，然后利用等边三角形的特殊性质，结合勾股定理的知识，再求出这条线段CE’的长度。也可用解法（二）图形，先利用模型，再根据“点到直线的距离最短”并结合勾股定理来考虑解题方案。由此看来，有了“模型”真是妙不可言，它能很好的帮助我们扫除思维的障碍，为进一步顺利的解题提供了保障。
变式②：“模型”在四边形中
如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为_________。
评析：此题符合模型“两定点，一动点”情形，根据模型，容易作出图形并求解。
变式③：“模型”在四边形中
如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为________。
评析：题目符合模型,解答时可直接应用模型。
变式④：“模型”在四边形中
如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8。点P是AB上一个动点,则PC+PD的最小值为_________。
评析：题目符合模型,解答时可直接应用模型。
变式⑤：“模型”在圆形中
如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为
A 2 B C 1 D 2
评析：根据模型和圆的对称性,应用模型容易得到答案。
变式⑥：“模型”在反比例函数图象中
如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小。
评析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键。要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，可以联想我们建立的“模型”作出图形，明白了最小的内涵，问题就迎刃而解了。
变式⑦：“模型”在二次函数图象中
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，），△AOB的面积是。
（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，请说明理由。
评析：本题第（3）小题△AOC周长等于AC+CO+AO，而A,O是定点，所以AO是一个定长，所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题．因为题目中有一个动点C，两个定点A，O，所以题目的条件符合模型，直接应用模型解决问题。
变式⑧：“模型”在立体图形中
如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm．
评析：本题考查了圆柱的展开，矩形的性质，模型应用，勾股定理等知识。它的巧妙之处在于对称轴不易被发现，学生难以做出图形，所以无法解答。如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点A竖直剖开）后侧面是一个长18宽12的矩形，作点A关于杯上沿MN的对称点B，连接BC交MN于点P，连接BM，过点C作AB的垂线交剖开线MA于点D。利用模型和三角形三边关系知AP＋PC为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，再结合勾股定理求解。
思考：对于“模型”的变式应用不难发现：这个模型不仅可以在三角形、直角梯形、菱形、正方形、圆中，还可以存在于函数、立体图形等问题中。虽然每个题目的呈现形式不同，但解决问题的本质方法不变。其实质是已知两个定点和直线上一个动点，求组成的线段距离和最短问题。在教学过程中，我们应先帮助学生建立例2这个基本模型，待学生能练掌握模型后，再一“模”多变，举一反三。
模型拓展------由定点和动点或多个动点组成的线段距离和最短问题
拓展①：一定点、一动点到直线上一动点组成的线段距离和最短问题
如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，∠BAC=60°。∠BAC的角平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_________。
评析：此例和我们已建立的模型有所不同，不能简单的只考虑模型。此题中只有一个定点B，但有两个动点M,N。所以在解答时，我们不仅要考虑应用模型，还必须考虑到如何才能使BH（解法图形中）最短，这时就需要应用“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”这个基本事实并结合勾股定理（或三角函数）才能有效的解决问题。
模型拓展②：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题
如图，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在角的两边上有两点Q，R（均不同于O点），则△PQR的周长的最小值为_________。
评析：本题中虽然△PQR三条边都是变化的，但是只要利用好模型，将三条线段放到同一条直线上，问题就得以解决。这一问题的解题依据与“将军饮马问题”类似。
模型拓展③：一定点与两条直线上两动点组成的三角形周长和最短问题
（2012年甘肃兰州）如图,在四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别找一点M,N,使△AMN的周长最小,则此时∠AMN+∠ANM的度数是
A.130° B.120° C.110° D.100°
评析：本题与上题类似，题目的背景由角改为四边形，利用好模型，将三条线段放到同一条直线上，问题就迎刃而解。
模型拓展⑤：利用平移性质构造模型，解决组成的四边形周长最短问题
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点。
（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF周长最小时，求点E、F坐标。
评析：本题的最大亮点是将模型和拓展问题融合在一起，并很好的运用到平面直角坐标系中。第（1）小题直接应用模型容易求解。第（2）小题难度较大，除需要应用模型，还要应用线段平移的知识构造平行四边形GEFC，所以有GE=CF，又DC、EF的长为定值，所以此时得到的点E、F使四边形CDEF的周长最小。
模型拓展④：模型及拓展在实际问题中的综合应用
恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图(AP与直线X垂直，垂足为P)，P到A、B的距离之和S1=PA+PB；图（2）是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P)，P到A、B的距离之和S2=PA+PB。
(1)求S1 、S2 ,并比较它们的大小。 (2)请你说明S2=PA+PB的值为最小。
(3)拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小。并求出这个最小值。
评析：本题把模型和模型的拓展巧妙的融合在一起，其最大的亮点是既要让学生会利用模型及拓展应用解实际问题，还要让学生说明为什么构造的线段距离和最短，揭示了知识的本质特征。
模型拓展⑥：三条直线上三个动点组成的线段距离和最短问题
如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°。点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为
A 1 B C 2 D ＋1
评析：此题P、K、Q三点均为动点，求PK+QK的最小值难度较大，在应用模型解题的同时，还必须考虑应用“两条平行线之间的距离”才能有效解决问题。
思考：对于“模型”的拓展应用，我们不难发现，当“模型”不能直接帮助我们解决问题时，通常都要将“模型”和两点之间线段最短、点到直线的距离、两条平行线间的距离、线段平移、勾股定理等知识结合起来，思考解题途径。如果教师在教学过程中，能够先帮助学生建立并熟练掌握例2这个基本“模型”，然后再加以变式和拓展应用，那么学生在解题过程中将会达到事半功倍的效果。一个模型多种变化，不仅能让教师静下心来研究教材母题、变式及其拓展应用，更能让学生能看清知识的本质，触类旁通，从容应对题海。
综上所述，在平时的教学过程中，教师要积极渗透数学模型思想，讲清讲透每个数学模型，这样不仅能帮助学生拓宽数学知识面，而且有利于培养学生思维的深刻性、广阔性和灵活性。让学生学会用数学的眼光思考问题，为创新能力和实践能力的培养提供更广阔的空间。
联系客服
