化圆为方是古希腊尺规作图问题之一,即:求一正方形,其面积等于一给定圆的面积。由π为超越数可知,该问题仅用直尺和圆规是无法完成的。但若放宽限制,这一问题可以通过特殊的曲线来完成。如西皮阿斯的割圆曲线,阿基米德的螺线等。
化圆为方
相关研究
其一
方圆的问题与提洛斯问题是同时代的,由希腊人开始研究。有名的阿基米德把这问题化成下述的形式:已知一圆的半径是r,圆周就是2πr,面积是πr²。由此若能作一个直角三角形,其夹直角的两边长分别为已知圆的周长2πr及半径r,则这三角形的面积就是:
S=½×2πr²=πr²
与已知圆的面积相等。由这个直角三角形不难作出同面积的正方形来。但是如何作这直角三角形的边。即如何作一线段使其长等于一已知圆的周长,这问题阿基米德可就解不出了。
二千年间,尽管对化圆为方问题上的研究 没有成功,但却发现了一些特殊曲线。希腊安提丰(公元前430)为解决此问题而提出的 「穷竭法」,是近代极限论的雏形。大意是指先作圆内接正方形(或正6边形),然后每次 将边数加倍,得内接8、16、32、…边形,他相信「最后」的正多边形必与圆周重合, 这样就可以化圆为方了。虽然结论是错误的,但却提供了求圆面积的近似方法,成为阿基米德计算圆周率方法的先导,与中国刘徽的割圆术不谋而合,对穷竭法等科学方法的建立产生直接影响。
其二
其实,若不受标尺的限制,化圆为方问题并非难事,欧洲文艺复兴时代的大师意大利数学家达芬奇(1452-1519)用已知圆为底,圆半径的½为高的圆柱,在平面上滚动一周,所得的矩形,其面积恰为圆的面积,所以所得矩形的面积=(r/2)×2πr=πr²,然后再将矩形化为等积的正方形即可。
现已证明:在尺规作图的条件下,此题无解。
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