数学之路，高斯传（13）

Fermat 定理与椭圆函数

法国科学院曾经在1816-1818年间悬赏征求Fermat 定理xⁿ+yⁿ = zⁿn ∈N 的证明或反证明。Olbers 写信给Gauss, 怂恿他做这个问题。Gauss 回答说, 他感激Olbers告诉他件事, 不过他对它不感兴趣。事实上他也很容易做出一连串这一类弧立而没有应用价值, 且使人难解的问题来。但是他认为这对往后数论的发展并没有多大益处。

实际上Gauss 证过x³+ y³+ z³= 0无整数解, 即Fermat 最后定理当n = 3的情形。他在另一篇文章上也证过这个定理当n = 5 的情形, 但是没有再做下去。

Gauss 在早年(1791) 就玩算术几何平均数的游戏, 即: 给定a = a₀ > b =b₀ > 0 令a_n = (a_n−1+b_n−1)/2, b_n =√(a_n−1b_n−1) 则{a_n} {b_n} 趋近于同一极限值M(a, b)。而完全椭圆积分(椭圆的周长算法),

且

Gauss 又导出只纽线(lemniscate)(x² + y²)²= a²(x² − y²) 的弧长算式y =∫₀^xdt /√1−t4 , 为椭圆积分。它的逆函数Gauss以y = sinlemn x 表示, 称为x 的双纽线正弦。而sinlemn x 有二周期2!, 2!i,

他又引进coslemn x 等。

在1797年3月的日记中Gauss 记载他可以用直尺与圆规五等分, 甚至于n 等分双纽线长。1800年Gauss 导出1/M(1+x,1−x) =1+( 1/2)²x²+( 1/2・3/4)²x⁴+( 1・3・5/2・4・6)²x⁶+· · ·, 它并满足一个二阶微分方程式。

从这些看得出Gauss 对椭函数是做过深入研究的。Gauss可能有意把椭圆函数的全部理论完整地做出后再发表, 否则不公开它。Gauss所写有关椭圆积分的内容只有在他1818年发表的论文“Secular Perturbations”中可以见到。

多年后(1827) 挪威人Niels HenrickAbel (1802-1829) 与德国人C. G. J. Iacobi(1804-1851) 因Gauss 的「Disquisitiones Arithemetica」第七章335节中的提示而做出关于椭圆函数的友善的竞争性研究。对这Gauss 的态度是不闻不问的。

在1824年当年22岁的Abel 解出一般五次方程式的不可解性, 而在奥斯陆自印成六页的小论文。他把论文寄给各国数学先进们, 满怀希望得到他们一些善意的响应。他也寄给Gauss。但是他所得到的可靠消息是,Gauss 尖叫: 「这里又出现怪物了!」, 就把Abel 的论文扔去一边。

1825年8月底Abel 因他的一篇论文(后来遗失) 得到挪威政府的奖金可往西欧游学一年。Abel 的最大愿望是拜访他尊崇的Gauss。但是Gauss 这个人既然遥不可及,Abel 便在9月月取道丹麦, 抱着痛苦的心情绕过Gauss 所在地Göttingen, 到达柏林。在那里他侥幸地遇到A. L. Crelle (1780-1855)。Crelle是第一位在德国境内铺设铁路而发财的土木工程师。他爱好数学, 并有识别天才的洞察力。Abel, J. Steiner (1796-1867)。Karl Weierstrass (1815-1897) 都因他识才替他们发表论文才得以出名。

Crelle 想办一份数学杂志, 就向Abel邀稿。Abel就便在1826年Crelle 出资的数学季刊杂志“Jaurnal f¨ur die reineund angewandte Mathematick”(又简称Crelle Journal)(I) 上发表了五篇论文。该杂志第二册中有Abel 的椭圆函数双周期理论。

Abel到了巴黎, 那里的数学家们对他冷冷的, 只是有礼貌而已。他寄给巴黎科学院的有关超越函数的巨著也被审稿者A. L.Cauchy (1789-1857) 放置在家里失踪了。

这篇文章一直到Abel 贫病交迫死亡后几年, 经挪威政府的抗议才寻找出来, 终于在1841年见到天日(法国科学院论文集第7卷pp.176-264)。

1827年秋天Abel 在Crelle Journal上发表椭圆函数的论文。数月后(1828年3月30日)Gauss 给Bessel 信, 说: 「我无法完成自从1798年以来研究的椭圆函数, 因为我有其他事得做。最近我发现Abel 已经完成了我的工作, 他让我省去三分之一的劳力。他写得既优雅又清楚。写的方式又跟我神似到令我惊奇的地步。不过他并没有抄袭我的研究, 因为我从来没有跟任何人谈到它。」

1829年4月6日Abel 去世了, 年方27岁。同年5月29日Gauss 给Schumacher信, 说: 「Abel 的死对科学界是一大损失。我在报纸上都没有看到有关他的报导。如果你手中有这位特殊人物的生前数据, 请告诉我。假使可能, 我也想拥有他的肖像。」这样看来, Gauss 对Abel 的印象并没Abel 所想象的那么差。

至于另一位椭圆函数发现者Jacobi, 在1849年庆贺Gauss 得博士学位五十周年纪念宴会上他是Göttingen 大学的贵宾, 被安排坐在Gauss 的傍边。Jaiobi 想跟Gauss谈数学, 但Gauss 避开话题不谈。