Identification Properties of Recent Production Function Estimators
Authors: Daniel A. Ackerberg, Kevin Caves, and Garth Frazer
Source: Econometrica
本篇论文由中央财经大学国际经济与贸易学院2021级本科生张若阳分享，由中央财经大学国际经济与贸易学院段玉婉老师指导展示
01
摘 要
本文研究了最近关于生产函数估计的一些文献。我们的重点是Olley和Pakes(1996)以及Levinsohn和Petrin(2003)这两篇最近的论文中提出的技术。虽然这两篇论文中有一些扎实而直观的识别思想，但我们认为这些技术可能存在功能依赖（Functional Dependence）问题。我们建议采用另一种方法，这种方法是基于这些论文中的观点，但不会受到功能依赖问题的影响，并且可以在一些特殊的数据生成过程下产生一致的估计值。
02
先前的办法
本文研究的均是Cobb-Douglas生产函数的参数估计，对其取对数形式可以得到以下表达：
模型中的变量可以分为两类：可以被计量经济学家观测到的以及不能被计量经济学加观测到的。
在这个模型设定下，我们将介绍一些生产函数的估计方法
1．面板数据的固定效应
其最重要的假设是，生产率冲击不随时间变化
但是这一点与现实的情况吻合较差，导致资本项的系数被低估。这一点在别的文献当中也有相应的批评评价。
2.企业的一阶条件
通过引入要素的投入价格，可以构造一个关于生产函数静态一阶条件和生产要素价格之间的等式，并求解相应的参数。
这个方法面临的局限性在于，有一些生产要素，比如说资本存量是存在动态效应的，也就不满足这一方法的假设，因而估计效果也不够好。
3.工具变量方法：要素价格
引入要素价格后，自然而然也可以想到工具变量方法，其中以要素的价格为工具变量。虽然这个方法可以有效解除上一种方法对于要素不含动态效应的约束，但是要素价格并不是一个好的工具变量，因为他是可以影响产出的，不符合工具变量的假设，在下图因果图中，要素价格作为变量z可以通过供应曲线对产出y造成直接的影响。
03
OP&LP方法
为了解决之前的问题，Olley&Pakes以及Levinsohn&Petrin 通过以下多条严谨的假设来构造一个生产函数的估计方法，以期得到良好的估计效果。
首先是两种估计方法共有的几条假设。
Assumption1: Information Set
T期的信息集包含了0到t受到的所有生产率冲击
Assumption2: First order Markov( evolution of productivity shocks)
只和上一期的生产力冲击有关，上一期生产力冲击可以推出下一期的分布
Assumption3: Timing of input choices
可以借助以下示意图理解
接下来我们将分别介绍两种方法（以下分别简称为OP、LP）
1.OP方法
接下还有两条OP特有假设
Assumption4: Scalar Unobservable（rules out other unobservables)
其中由假设三可知，投资项是具有动态效应的
Assumption5: Strict Monotonicity
以下函数单调随生产力冲击单调递增
通过假设4&5，我们可以通过反函数形式将生产力冲击表示出来并加以控制（observe the unobservables)
内生性问题
在以上假设中，模型会存在以下内生性问题，即资本存量与生产力冲击相关具体推导如下：
为了解决上述内生性问题，OP使用两阶段估计来进行参数估计
首先我们通过求反函数的方法表示生产力冲击，并将生产函数整理为如下形式：
第一阶段的估计中，我们利用的是假设一中的矩条件
结合上述对于生产函数的整理，我们得到以下表述
第二阶段估计中，我们结合假设1和2可以得到生产力冲击的如下表示：
其中是一个创新项，他也有以下矩条件
将上述条件整理得到第二阶段的矩条件
将第一阶段的估计值代入进该矩条件估计，就可以将生产函数中余下的结构参数估计出来。
2.LP方法
LP方法的核心思想，包括将生产率冲击通过反函数表示出来的方法以及通过两阶段估计估计来解决内生性问题的方法都与OP相同，其诞生的原因是因为OP方法在实际操作中面临着如下的问题：
Assumption4b: Scalar Unobservable
Assumption5b: Strict Monotonicity
以下函数随生产力冲击单调递增
其两阶段估计操作过程与OP方法完全相同，以下不做赘述。
04
功能性依赖问题
我们将在这一部分介绍OP和LP方法面对的共同问题：功能性依赖。
通过对指数形式的生产函数对中间投入构造一阶条件，并进一步推导，我们可以整理出以下式子。
通过推导我们发现，劳动力变量是可以被其他项完全表示出来的，也就是说劳动力参数并不能在第一阶段被识别，无法进行参数估计。
在提出新的方法之前，作者尝试找到一些特殊的数据生成过程来使OP或者LP方法下劳动力的参数可以被识别
1.最优化误差（optimization error）
结合现实情况，虽然企业可以计算出自己的最有投入水平，但是由于一些特殊冲击，比如员工生病，实际的要素投入水平是偏离最优水平的。
Labor input choice= optimal level + noise
(e.g. the context of sick days, not be able to reach optimal level of material input)
因为有这个冲击的影响，因此劳动力项就不会完全被其它项表示出来，在OP和LP的第一阶段估计中劳动项就可以被识别，因此可以产生参数估计，解决了功能性依赖的问题。
值得留意的是，当劳动力投入遵从实际投入时，相应地，中间投入的选择也会偏离最优水平，如果将实际投入的中间要素投入水平进行参数估计，就违背了假设4，因此在估计时，应当选用计划水平的中间品投入，这种做法能够解决问题前提是上述冲击在时间上是独立同分布的。
2.要素的投入时间
这种方法在t-1和t之间引入了一个中间时点t-b，在这个时候产生了一个冲击，使得劳动力的投入选择并不完全依赖于中间投入和其他项的水平，也就使得其可以在第一阶段的估计中被识别。
经过上述探索，结论是OP和LP只能在相当有限的数据生成过程下进行准确的参数识别，基于这种问题，作者进行了方法的改良并提出了ACF方法。
05
ACF方法
首先，ACF的生产函数是一个在中间投入上遵从莱昂提夫形式的Cobb-Douglas函数
其对数形式可以表示为以下函数
在模型假设上，与OP和LP方法相比，ACF方法有以下区别
Assumption 4c: Scalar unobservable：input demand function for mit conditional on lit
这隐含着要素投入的选择顺序
Assumption 5c: strict monotonicity
其中，通过构造以劳动力投入为条件的中间投入函数是ACF方法最显著的特点，和OP，LP方法相同的是，ACF也采用两阶段方法估计参数。
和OP，LP不同，第一阶段并没有产生，因而相较之前的方法，ACF在第二阶段需要多估计一个参数。
同时假设生产率冲击遵从AR（1）过程
从而构造以下一组矩条件：
在第二阶段我们可以得到所有结构参数的估计。
两阶段估计中，由于第一阶段没有产生劳动力参数的估计，而是在第二阶段进行了，因此ACF方法避免了结构性依赖的问题，哪怕我们没有涉及之前提到的最优化误差以及要素投入时间顺序的方法，而是在一个更广泛且一般的环境下实现的。除却ACF方法，其他学者也提出了解决结构性以来并得到生产函数参数估计的方法。首先是伍德里奇的联合估计，这个方法通过构造以下矩条件将参数一次性估计出来。
这个方法避免了功能性依赖问题，因为劳动力投入的参数可以靠第二行的矩条件估计出来，但是非线性的参数搜索会使得这个方法需要花费更久的时间进行参数估计。
另外一种方法是面板数据的差分，它可以视作之前面板数据固定效应方法的改良。
它假设生产率冲击遵循AR（1）过程，对于其它的冲击不做任何约束
通过构造以下矩条件可以消除生产率冲击项并产生参数估计。
06
模型检验：蒙特卡罗实验
在论文的最后，作者通过几个数据生成过程来测量ACF方法的优良度。
这一部分的主要操作思路是，利用LP论文中的数据，先产生参数的估计，经过我们前面的介绍，此时的参数估计量是无偏的。在此基础上，我们对于这份原有数据通过蒙特卡洛实验产生一定程度的扭曲，并检验先前提到的OP，LP和ACF方法面对这些数据是否能继续产生无偏的估计，借以对模型产生评价。其主要设定如下：
另外还有对于假设3 的进一步细化
为了实验效率，这个设定是必须的，但是他违反了OP的假设4，因此在蒙特卡洛检验中OP全部没有得到一致估计。
因此在接下来的数据生成过程中只对LP方法和ACF方法进行比较。
DGP1：公司层面，不可观测的工资冲击
在t-b时刻，公司受到了以下工资冲击
ACF：conditional on labor input， 不影响参数估计
LP：类似在第三部分的讨论：劳动力投入会影响中间品投入，使得劳动力参数在第一阶段不能被识别，无法产生估计
DGP2：optimization error
如在第三部分中讨论的解决功能性以来的思路，在这个数据生成过程中引入了最优化误差，其中对于针对中间投入的形式，也分成以下两个子类别：
2：选择计划水平的中间投入，ACF方法和LP方法都可以产生一致估计
2b：选择实际实现的中间投入水平
如前文讨论，这个数据违背了LP的scalar unobservable假设，因而不能产生一致估计，同时ACF方法是一个条件函数，可以产生一致估计。
DGP3/3b：DGP1+DGP2/2b
这个数据生成过程把前两种结合，LP在两种数据生成过程中都失败了，而ACF可以在3b的情况下产生一致估计，因为3b中，实际投入水平的中间投入依赖于实际投入水平的劳动力投入。
除却三类数据生成过程，作者结合实际情况，还引入了不同程度的测量误差来进一步扭曲数据，检验模型的敏感度。
根据实验数据，虽然LP和ACF都不能在任何一种水平的数据测量误差下得到参数的一致估计，但相比于LP方法，ACF方法对测量误差更不敏感，参数估计的偏差较小。
以下是蒙特卡洛实验的总结：
07
总 结
本文主要贡献在于通过条件式的反演函数解决了之前生产函数估计中的FD问题，同时，相较于其他可以克服FD问题的后续生产函数估计方法，ACF方法具有效率上的优势。相较于OP和LP方法，ACF方法具有更宽广的应用范围和更稳健的估计结果，是生产函数研究方法的一次理论突破。
·END·
撰稿：张若阳
排版：吴中亚
审核：吴承骏
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