学完线性代数的同学,可能会对线性代数的很多概念有所疑惑.
这个东西有什么用?那个玩意定义出来有什么意义?
本文将探讨线性代数中及其重要的两个概念:特征值与特征向量.
(PS:下文中的矩阵均认为是方阵)
矩阵不单单是二维的数组,它更重要的角色是映射:
就相当于,矩阵是把向量映射到向量的一个函数,或者说,映射,算子.
从一般的角度看,这个映射无非就是矩阵乘向量,说得具体一点,就是n次的向量点积计算.
(矩阵的一行乘上向量,并对结果向量的所有元素求和,就是一次点积)
错!实际上,这个映射本质是一个缩放操作.
举一个简单的例子,矩阵
它的特征值分别是2和1,特征向量是和.
设向量,那么显然结果.
我们使用另一种方法计算,首先我们将表示成特征向量和的线性组合,即:
然后,我们将特征值和对应的系数相乘,得到:
显然,如果你继续计算下去,你也会得到
特征值和特征向量的意义就在于此!
矩阵所充当的映射,实际上就是对特征向量的缩放,每个特征向量的缩放程度就是特征值.
因此,我们需要将向量表示成特征向量的线性组合(相当于以特征向量为基),得到相应的特征向量的权重.
然后,每个权重与特征值相乘,就是这个映射最本质的缩放操作.
基于这样的理解,我们可以很简单地解释很多结论.
对角化分解实际上就是我们解释特征值含义的过程.
,其中是由特征向量组成的矩阵,是由特征值组成的对角矩阵.
在解释对角化分解之前,我们还要先解释矩阵的另一个含义.
对于,事实上矩阵还有其他含义,比如在这里有转换基向量的含义:
是特征向量为基所表示的向量,上文,那么在特征向量为基的表示是
则是坐标轴为基所表示的向量,假如的表示为,相当于
那么的含义就是把一个向量从特征向量为基的表示,转变成以坐标轴为基的表示.
相应,的含义则相反,是把一个向量从坐标轴为基的表示,转变成以特征向量为基的表示.
那么,我们就可以解释了.
首先,是将转变成用特征向量表示,上文,就是把变成了.
然后,就是对应的特征值与权重作乘法,得到.
最后,就是把重新转换成坐标轴为基的表示,得到.
是因为原矩阵放大了2倍,逆矩阵就要相应地缩小到原本的.
当然,特征向量要保持对应,因此这也解释了为什么逆矩阵的特征向量和原矩阵一样
参考第2点,0没有倒数.
显然,在这里是特征值,是特征向量.
把变成以的特征向量为基来表示的话,那么权重肯定只有1个1,其他都为0,那个1对应的特征向量当然是本身.
这个时候进行缩放,那么只有的权重被缩放了,其他特征向量的权重都是0,0乘任何数为0.
那么,的结果就相当于了,因为就是作了相应的缩放,缩放因子就是特征值.
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