丢番都方程
一个(或一组)整系数的不定方程,如果只要求它的整数解,这不定方程叫做“丢番都方程”。
希腊时代,代数学获得重大的发展,代表人物是丢番都(约公元246—339年),被誉为代数学的鼻祖。他写了三部书,其中最出色的是《算术》。这部伟大的著作在历史上的重要性可以和欧几里得《几何原本》一比高下。《算术》是讲数的理论的,不过大部分的内容可以划入代数的范围内。书中举出并解决了许多不定方程。
丢番都是系统研究整系数不定方程的整数解的先行者,因此,人们习惯上把这种不定方程叫做“丢番都方程”。丢番都在处理等类型的不定方程时显示出惊人的技巧。例如,《算术》中有一题是:
“把16分为两个平方米之和”。
丢番都设一个平方数为,则另一个数为。为了使也是平方数,他巧妙地设:
即得x。所以一个数为,另一个数为。这个问题具有很大的历史价值,因为它引出了著名的“费马大定理”。
丢番都对于各个都用特殊的方法去解决,很少给出一般的法则,甚至性质很相近的题解法也不同,这是他的一个不足之处。难怪一位德国数学史家说:“近代数学家研究了丢番都100个题后,去解101题,仍然感到困难。”因此近代的数论家如欧拉、拉格朗日、高斯等解决不定方程时不得不另觅途径。1900年德国大数学家希尔伯特提了的23个著名的数学难题中,第10个问题就是关于丢番都方程的:“是不是可以设计一种计算步骤,以判定一个整系数方程有没有整数解?”有人曾用数理逻辑中递归函的概念,定出了这种计算步骤,并得到了公认。但又有数学家证明了这种算法并不能判定丢番都方程有没有整数解。至今希尔伯特等10个问题仍是悬案,有待进一步探讨。
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