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自从导数相关知识内容进入高中数学课本以来,如何应用导数有关知识去解决函数的性质(如单调性、极值、最值)、实际应用问题、切线有关等问题,逐渐成为历年高考数学的热点之一,深受高考数学命题老师的青睐。
函数作为中学数学重要知识内容之一,可以说贯穿整个数学学习,导数的引入,给我们多了一种解决问题的办法,成为解决实际问题强有力的工具。
在高考数学中,导数与函数相关的题型较为丰富,解法灵活,也容易“混乱”,这就造成很多学生在解决问题过程中出现一些偏差,致使解题失误,最终丢失分数。
因此,为了能更好帮助大家学好导数与函数这一重要知识内容,今天我们就一起来讲讲如何应用导数有关知识去解决函数的单调性。
在导数没有引入高中数学课本之前,我们解决函数的单调性,一般是利用单调性定义和函数图象本身去求单调性。按照这种“老方法”解决问题,有它的好处,但遇见一些复杂的函数,很可能就无法利用单调性的定义去顺利解决问题,如计算难度太大,无法画出图象等等。
因此,当我们应用导数这一工具去解决函数单调性问题,会发现一些难题变得“简单”,使问题得到顺利解决。首先我们一起来看看,应用导数如何去判断函数的单调性。
函数的单调性:
在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.
1、f′(x)≥0⇔f(x)在(a,b)上为增函数.
2、f′(x)≤0⇔f(x)在(a,b)上为减函数.
高考数学,导数与函数的单调性,典型例题分析1:
已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数,若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
通过这样的一道典型例题,我们可以进一步得到求可导函数单调区间的一般步骤和方法:
1、确定函数f(x)的定义域;
2、求f′(x),令f′(x)=0,求出它在定义域内的一切实数根;
3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;
4、确定f′(x)在各个开区间内的符号,根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性。
高考数学,导数与函数的单调性,典型例题分析2:
已知函数f(x)=-2xln x+x2-2ax+a2,其中a>0.
(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;
(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.
解:(1)由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),
g(x)=f′(x)=2(x-1-ln x-a),
所以g′(x)=2-2/x=2(x-1)/x.
当x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增.
(2)证明:由f′(x)=2(x-1-ln x-a)=0,
解得a=x-1-ln x.
令φ(x)=-2xln x+x2-2x(x-1-ln x)+(x-1-ln x)2
=(1+ln x)2-2xln x,
则φ(1)=1>0,φ(e)=2(2-e)<0,
于是,存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0.
令a0=x0-1-ln x0=u(x0),
其中u(x)=x-1-ln x(x≥1).
由u′(x)=1-1/x≥0知,函数u(x)在区间(1,+∞)上单调递增.
故0=u(1)<a0=u(x0)<u(e)=e-2<1,
即a0∈(0,1).
当a=a0时,有f′(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0.
再由(1)知,f′(x)在区间(1,+∞)上单调递增,
当x∈(1,x0)时,f′(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0;
当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0;
又当x∈(0,1]时,f(x)=(x-a0)2-2xln x>0.
故x∈(0,+∞)时,f(x)≥0.
综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,
且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.
导数作为一种重要的数学知识内容,学好导数,用好导数,在我们解决函数有关的问题时候,可以为我们带来极大的便利,提高解题效率。
同时,函数的单调性是最常考的函数性质之一,可以说是历年高考数学的必考热点,我们利用导数的符号来判断函数的单调性,进而确定函数的单调区间,这是导数的几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用,它充分体现了数形结合的思想。
因此,我们一定要熟记用导数法判断函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤:
1、求f '(x);
2、确定f '(x)在(a,b)内的符号;
3、作出结论,依据是f '(x)>0时为增函数; f '(x)<0时为减函数。
特别要注意的是,我们在研究含参数的函数的单调性时,很多时候需要注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论。
下面简单介绍一下利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路:
1、由可导函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减)可知f '(x)≥0(f '(x)≤0)在区间[a,b]上恒成立,进而列出不等式.
2、利用分离参数法求解恒成立问题.
3、对等号是否成立进行单独检验,检验参数的取值能否使f '(x)在整个区
间上(或该区间的子区间上)恒等于0,若f '(x)恒等于0,则参数的这个值应
舍去;若只有在个别点(有限点)处有f '(x)=0,则参数可取这个值.
高考数学,导数与函数的单调性,典型例题分析3:
已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2/2+2x,a≠0.若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求a的取值范围.
解:∵h(x)=ln x-ax2/2-2x,x∈(0,+∞),
∴h'(x)=1/x-ax-2.
∵h(x)在[1,4]上单调递减,
∴当x∈[1,4]时,h'(x)=1/x-ax-2≤0恒成立,
即a≥1/x2-2/x恒成立,令G(x)=1/x2-2/x,
则a≥G(x)max,G(x)=(1/x-1)2-1.
∵x∈[1,4],所以1/x∈[1/4,1],
∴G(x)max=-7/16(此时x=4),
∴a≥-7/16.
利用导数去求解函数单调性,可以使问题变得既简便又有效,简洁解题方法的出现也可以调动学生的学习兴趣,加深大家对数学知识的理解和消化,通过一题多解,多种解题方法相互交叉应用,可以培养学生思维能力,提高学习效率。
最后记住利用导数求函数的单调区间的两个方法,方法一:
1、确定函数y=f(x)的定义域;
2、求导数y'=f '(x);
3、解不等式f '(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
4、解不等式f '(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间。
值得注意:写单调区间时,同增(减)区间不能用“∪”连接。
利用导数求函数的单调区间方法二:
1、确定函数y=f(x)的定义域;
2、求导数y'=f '(x),令f '(x)=0,解此方程,求出在定义域内的一切根;
3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)和上面所求的各根按由小到
大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间;
4、确定f '(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个区间内的单
调性。
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