【高考数学】解题能力提升, 每日一题: 第158题

如图，在多面体ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，△A1CB是等边三角形，AC=AB=1，B1C1∥BC，BC=2B1C1

（Ⅰ）求证：AB1∥平面A1C1C

（Ⅱ）求多面体ABC﹣A1B1C1的体积．

（Ⅰ）证明：取BC的中点E，连接AE，C1E，B1E

∵B1C1∥BC，B1C1=1/2BC，

∴B1C1∥EC，B1C1=EC

∴四边形CEB1C1为平行四边形，

∴B1E∥C1C

∵C1C⊂面A1C1C，B1E⊄面A1C1C，

∴B1E∥面A1C1C…

∵B1C1∥BC，B1C1=1/2BC，

∴B1C1∥BE，B1C1=BE

∴四边形BB1C1E为平行四边形，

∴B1B∥C1E，且B1B=C1E

又∵ABB1A1是正方形，

∴A1A∥C1E，且A1A=C1E

∴AEC1A1为平行四边形，

∴AE∥A1C1，

∵A1C1⊂面A1C1C，AE⊄面A1C1C，

∴AE∥面A1C1C…

∵AE∩B1E=E，

∴面B1AE∥面A1C1C

∵AB1⊂面B1AE，

∴AB1∥面A1C1C；

考点分析：

棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．

题干分析：

（Ⅰ）取BC的中点E，证明四边形CEB1C1为平行四边形，可得B1E∥C1C，从而可得B1E∥面A1C1C，再证明AE∥面A1C1C，利用面面平行的判定，可得面B1AE∥面A1C1C，从而可得AB1∥面A1C1C；

（Ⅱ）先证明CD⊥平面ADC1A1，于是多面体ABC﹣A1B1C1是由直三棱柱ABD﹣A1B1C1和四棱锥C﹣ADC1A1组成的，即可得出结论．