如图,在多面体ABC﹣A1B1C1中,四边形ABB1A1是正方形,△A1CB是等边三角形,AC=AB=1,B1C1∥BC,BC=2B1C1
(Ⅰ)求证:AB1∥平面A1C1C
(Ⅱ)求多面体ABC﹣A1B1C1的体积.
(Ⅰ)证明:取BC的中点E,连接AE,C1E,B1E
∵B1C1∥BC,B1C1=1/2BC,
∴B1C1∥EC,B1C1=EC
∴四边形CEB1C1为平行四边形,
∴B1E∥C1C
∵C1C⊂面A1C1C,B1E⊄面A1C1C,
∴B1E∥面A1C1C…
∵B1C1∥BC,B1C1=1/2BC,
∴B1C1∥BE,B1C1=BE
∴四边形BB1C1E为平行四边形,
∴B1B∥C1E,且B1B=C1E
又∵ABB1A1是正方形,
∴A1A∥C1E,且A1A=C1E
∴AEC1A1为平行四边形,
∴AE∥A1C1,
∵A1C1⊂面A1C1C,AE⊄面A1C1C,
∴AE∥面A1C1C…
∵AE∩B1E=E,
∴面B1AE∥面A1C1C
∵AB1⊂面B1AE,
∴AB1∥面A1C1C;
考点分析:
棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.
题干分析:
(Ⅰ)取BC的中点E,证明四边形CEB1C1为平行四边形,可得B1E∥C1C,从而可得B1E∥面A1C1C,再证明AE∥面A1C1C,利用面面平行的判定,可得面B1AE∥面A1C1C,从而可得AB1∥面A1C1C;
(Ⅱ)先证明CD⊥平面ADC1A1,于是多面体ABC﹣A1B1C1是由直三棱柱ABD﹣A1B1C1和四棱锥C﹣ADC1A1组成的,即可得出结论.
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