【高考数学】解题能力提升, 每日一题: 第165题

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ACD是正三角形，BD垂直平分AC，

垂足为M，∠ABC=120°，PA=AB=1，PD=2，N为PD的中点．

（1）求证：AD⊥平面PAB；

（2）求证：CN∥平面PAB．

∴∠BAD=∠BAM+∠DAC=90°，

∴AB⊥AD．

又PA=1，PD=2，

∴PA2+AD2=PD2，即PA⊥AD．

又PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，PA∩AB=A，

∴AD⊥平面PAB．

（2）取AD的中点H，连结NH，CH．

∵△ACD是正三角形，

∴CH⊥AD，

∵N，H是PD，AD的中点，

∴NH∥PA，

∵PA⊥AD，

∴NH⊥AD．

又NH⊂平面NCH，CH⊂平面NCH，NH∩CH=H，

∴AD⊥平面NCH，又AD⊥平面PAB，

∴平面NCH∥平面PAB．

∵CN⊂平面NCH，

∴CN∥平面PAB．

考点分析：

直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，如有平面垂直时，一般要用性质定理．

几个常用的结论：

1、过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

2、过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意：

1、判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视．

2、结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．

3、举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．

题干分析：

（1）根据中垂线定理得出∠BAM，AM，利用正三角形的性质得出AD，∠DAC，从而得出AB⊥AD，PA⊥AD，于是AD⊥平面PAB；

（2）取AD的中点H，连结NH，CH．则可证明AD⊥平面NCH，于是平面NCH∥平面PAB，于是CN∥平面PAB．