【高考数学】解题能力提升, 每日一题: 第178题

如图，AB与圆O相切于点B，CD为圆O上两点，延长AD交圆O于点E，BF∥CD且交ED于点F

（I）证明：△BCE∽△FDB；

（Ⅱ）若BE为圆O的直径，∠EBF=∠CBD，BF=2，求AD·ED．

（Ⅰ）证明：∵BF∥CD；

∴∠EDC=∠BFD，

又∠EBC=∠EDC，

∴∠EBC=∠BFD，

又∠BCE=∠BDF，

∴△BCE∽△FDB．

（Ⅱ）因为∠EBF=∠CBD，所以∠EBC=∠FBD，

由（Ⅰ）得∠EBC=∠BFD，所以∠FBD=∠BFD，

又因为BE为圆O的直径，

所以△FDB为等腰直角三角形，

考点分析：

与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．

题干分析：

（Ⅰ）根据BF∥CD便有∠EDC=∠BFD，再根据同一条弦所对的圆周角相等即可得出∠EBC=∠BFD，∠BCE=∠BDF，这样即可得出：△BCE与△FDB相似；

（Ⅱ）根据条件便可得出∠EBC=∠FBD，再由上面即可得出∠FBD=∠BFD，这样即可得出△FDB为等腰直角三角形，从而可求出BD的值，根据射影定理即可求出AD·ED的值．