设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=2，f′（x）﹣f（x）＞ex，则使得f（x）＞xex+2ex成立的x的取值范围是（ ）
A．（0，+∞） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（﹣∞，+∞）
解：构造辅助函数g（x）=e﹣xf（x）﹣x，g′（x）=﹣e﹣xf（x）+f′（x）e﹣x﹣1=e﹣x[f′（x）﹣f（x）]﹣1，
由f′（x）﹣f（x）＞ex，g′（x）＞0恒成立．
∴g（x）在定义域上是单调递增函数，
要使f（x）＞xex+2ex，即：e﹣xf（x）﹣x＞2，
只需将g（x）的最小值大于2，
∵g（0）=2，g（x）在定义域上是单调递增函数；
故x＞0，即x的取值范围是（0，+∞）．
故答案选：A
考点分析：
利用导数研究函数的单调性．
函数的单调性：
在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．
f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．
f′(x)>0与f(x)为增函数的关系：f′(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件．
解题反思：
根据f′（x）﹣f（x）＞ex，构造g（x）=e﹣xf（x）﹣x，求导，求出函数的单调增函数，只需将求g（x）的最小值大于2，即可求得x的取值范围．
联系客服
