【高考数学】解题能力提升, 每日一题: 第208题，利用导数研究函数

已知函数f（x）=ex﹣mx﹣n．

（1）求函数f（x）在[0，1]上的最小值；

（2）若方程f（x）=1/2mx2+（n﹣m）x﹣n+1的一个解为1，且该方程还在（0，1）上有解，求实数m的取值范围．

解：（1）依题意，f′（x）=ex﹣m，

①当m≤0时，f′（x）=ex﹣m＞0，

∴f（x）在R上单调递增，从而f（x）在[0，1]上单调递增，

∴f（x）min=f（0）=1，

①当m＞0时，f′（x）=ex﹣m＞0，

即x＞lnm，

∴f（x）在（﹣∞，lnm）上单调递减，

在（lnm，+∞）上单调递增，

当lnm≤0，即0＜m≤1，f（x）在（0，lnm）上单调递减，

∴f（x）min=f（0）=1﹣n，

当0＜lnm＜1，即1＜m＜e时，

∴f（x）在（﹣∞，lnm）上单调递减，

在（lnm，1）上单调递增，

∴f（x）min=f（lnm）=m﹣mlnm﹣n，

当lnm≥1，即m≥e时，

f（x）在[0，1]上单调递减，

∴f（x）min=f（1）=e﹣m﹣n

问题转化为，

且g′（x）=n+mx﹣ex=﹣f（x），g（0）=g（1）=0，

令x0为g（x）在（0，1）内的一个零点，

则由g（0）=g（x0）=0知，

g（x）在（0，x0）内不单调递增，也不单调递减，也不单调递增，

从而﹣f（x）在（0，x0）内不能恒为正，也不能恒为负．

∴﹣f（x）在（0，x0）内存在零点x1，

同理﹣f（x）在（x0，1）存在零点x2，

∴﹣f（x）在（0，1）内至少有两个零点x1，x2，

由（1）知，当m≤1时，﹣f（x）在（0，1）内单调递减，

∴﹣f（x）在（0，1）内至多有一个零点，不合题意，

当1＜m＜e时，﹣f（x）在（0，lnm）上单调递增，

在（lnm，1）上单调递减，

∴x1∈（0，lnm），x2∈（lnm，1），

从而﹣f（0）=n﹣1＜0，﹣f（1）=m+n﹣e＜0，否则，矛盾，

∴﹣f（0）=n﹣1=e﹣2﹣＜0，即m＞2（e﹣2）；

﹣f（1）=m+n﹣e=﹣1＜0，即m＜2，

∴2（e﹣2）＜m＜2，

当2（e﹣2）＜m＜2时，﹣f（x）在（0，1）的最大值为[﹣f（x）]max=n+mlnm﹣m，

若[﹣f（x）]max=n+mlnm﹣m≤0，则﹣f（x）≤0，x∈[0，1]，

从而g（x）在[0，1]上单调递减，这与g（0）=g（1）=0相矛盾，

∴[﹣f（x）]max=n+mlm﹣m＞0，

又f（0）＜0，﹣f（1）＜0，

∴﹣f（x）在（0，lnm），（lnm，1）内各有一个零点x1，x2，

∴g（x）在（0，x1）内单调递减，在（x1，x2）内单调递增，在（x2，1）内单调递减，

∴g（x1）＜g（0）=0，g（x2）＞g（1）=0，

∴g（x）在（x1，x2）内有零点，

∴m的取值范围是（2（e﹣2），2）

考点分析：

利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．

题干分析：

（1）求导，再分类讨论，根据函数的单调性即可求出函数的最值，

（2）构造函数g（x），转化为函数g（x）在（0，1）上有零点，根据零点存在定理和导数和与函数的关系，即可求出m的范围．