【高考数学】解题能力提升, 每日一题: 第222题

设数列{an}的各项为正数，且a1，22，a2，24，…，an，22n，…成等比数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）记Sn为等比数列{an}的前n项和，若Sk≥30（2k+1），求正整数k的最小值．

解：（Ⅰ）∵列{an}的各项为正数，

且a1，22，a2，24，…，an，22n，…成等比数列，

∴a22=22·24=26，即a2=8，

∴22/a1=8/22，解得a1=2，

∴数列{an}是首项为a1=2，公比为q=a2/a1=4的等比数列，

∴an=2×4n-1．

（Ⅱ）∵数列{an}是首项为2，公比为4的等比数列，

∴等比数列{an}的前n项和Sn=2（1-4n）/（1-4）=（2/3）（4n-1），

∵Sk≥30（2k+1），

∴（2/3）（4k-1）≥30（2k+1），

即2×（2k）2﹣90×2k﹣92≥0，

解得2k≥46或2k≤﹣1（舍），

∴正整数k的最小值为6．

考点分析：

等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．

题干分析：

（Ⅰ）推导出数列{an}是首项为2，公比为4的等比数列，由此能求出数列{an}的通项公式．

（Ⅱ）先求出等比数列{an}的前n项和Sn=（2/3）（4n-1），从而得到（2/3）（4k-1）≥30（2k+1），由此能求出正整数k的最小值．