【高考数学】解题能力提升, 每日一题: 第246题

高考数学几何证明选讲，圆相关解答题分析1：

如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BC=CD，AD的延长线与BC的延长线交于点E，过C作CF⊥AE，垂足为点F．

（Ⅰ）证明：CF是圆O的切线；

（Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF的长．

（Ⅰ）证明：连接OC，AC，

∵BC=CD，

∴∠CAB=∠CAD．

∵AB是圆O的直径，

∴OC=OA．

∴∠CAB=∠ACO．

∴∠CAD=∠ACO．

∴AE∥OC．

∵CF⊥AE，

∴CF⊥OC．

∴CF是圆O的切线．

（Ⅱ）解：∵AB是圆O的直径，

∴∠ACB=90°，即AC⊥BE．

∵∠CAB=∠CAD，

∴点C为BE的中点．

∴BC=CE=CD=4．

考点分析：

与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．

题干分析：

（Ⅰ）连接OC，AC，证明：AE∥OC，利用CF⊥AE，可得CF⊥OC，即可证明CF是圆O的切线；

（Ⅱ）由割线定理：EC·EB=ED·EA，且AE=9，得ED=32/9，利用勾股定理求CF的长．

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高考数学几何证明选讲，圆相关解答题分析2：

已知点P是圆O外的一点，过P作圆O的切线PA，PB，切点为A，B，过P作一割线交圆O于点E，F，若2PA=PF，取PF的中点D，连接AD，并延长交圆于H．

（1）求证：O，A，P，B四点共圆；

（2）求证：PB2=2AD·DH．

证明：（1）连接OA，OB，

∵PA，PB为圆O的切线，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∴∠PAO+∠PBO=180°，

∴O，A，P，B四点共圆；

（2）由切割线定理可得PA2=PE·PF，

∵PF=2PA，

∴PA2=PE·2PA，

∴PA=2PE，

∴PE=ED=1/2PA，

由相交弦定理可得AD·DH=ED·DF，

∴AD·DH=1/2PA2，

∵PB=PA，

∴PB2=2AD·DH．

考点分析：

平行截割定理；圆周角定理．

题干分析：

（1）利用对角互补，证明O，A，P，B四点共圆；

（2）由切割线定理证明出PA=2PE，由相交弦定理可得AD·DH=ED·DF，即可证明：PB2=2AD·DH．