定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)使不等式2f(x)<xf′(x)<3f(x)恒成立,其中f′(x)为f(x)的导数,则( )
A.8<f(2)/f(1)<16
B.4<f(2)/f(1)<8
C.3<f(2)/f(1)<4
D.2<f(2)/f(1)<3
考点分析:
利用导数研究函数的单调性.
函数的单调性:
在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0⇔f(x)在(a,b)上为增函数.
f′(x)≤0⇔f(x)在(a,b)上为减函数.
f′(x)>0与f(x)为增函数的关系:f′(x)>0能推出f(x)为增函数,但反之不一定.如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0,所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件。
题干分析:
令g(x)=g(x)=f(x)/x3,h(x)=f(x)/x2,求出g(x),h(x)的导数,得到函数g(x),h(x)的单调性,可得g(2)<g(1),h(2)>h(1),由f(1)>0,即可得到4<f(2)/f(1)<8.
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