【高考数学】解题能力提升, 每日一题: 第300题

如图，已知三棱锥P﹣ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，PA=PB，平面PAB⊥平面ABC，D、E、F分别是AB、PB、PC的中点．

（Ⅰ）证明：PD⊥平面ABC；

（Ⅱ）若M为BC中点，且PM⊥平面EFD，求三棱锥P﹣ABC的体积．

（Ⅰ）证明：∵PA=PB，D为AB中点，

∴PD⊥AB，

又平面PAB⊥平面ABC，交线为AB，PD⊂平面PAB，

∴PD⊥平面ABC；

（Ⅱ）解：设PM交EF于N，连接DM，DN，

∵PM⊥平面EFD，DN⊂平面DEF，

∴PM⊥DN，

又E，F分别是PB，PC的中点，

∴N为EF的中点，也是PM的中点，

∴DN垂直平分PM，故PD=DM，

又DM为△ABC的中位线，则DM=AC/2=1，

∴PD=1．

∵BC⊥AC，则S△ABC=AC·BC/2=2．

∴三棱锥P﹣ABC的体积VP﹣ABC=S△ABC·PD/3=2/3

考点分析：

棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．

题干分析：

（Ⅰ）由PA=PB，D为AB中点，可得PD⊥AB，再由面面垂直的性质可得PD⊥平面ABC；

（Ⅱ）设PM交EF于N，连接DM，DN，由线面垂直的性质得到PM⊥DN，由已知可得DN垂直平分PM，故PD=DM，求出DM，进一步求得PD．即三棱锥P﹣ABC的高，然后由三棱锥体积公式求得三棱锥P﹣ABC的体积．