【高考数学】解题能力提升, 每日一题: 第443题

过双曲线x2﹣y2/15=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（　　）

A．10 B．13 C．16 D．19

解：圆C1：（x+4）2+y2=4的圆心为（﹣4，0），半径为r1=2；

圆C2：（x﹣4）2+y2=1的圆心为（4，0），半径为r2=1，

设双曲线x2﹣y2/15=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），

连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得

|PM|2﹣|PN|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）

=（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）

=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3

=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2·2c﹣3=2·8﹣3=13．

当且仅当P为右顶点时，取得等号，

即最小值13．

故选B．

考点分析：

双曲线的简单性质．

题干分析：

求得两圆的圆心和半径，设双曲线x2﹣y2/15=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．

解题反思：

本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力，属于中档题．