【高考数学】解题能力提升, 每日一题：第634题，三角函数的题型讲解三角函数的题型讲解

典型例题分析1：

若α，β∈[﹣π/2，π/2]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列关系式：

①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α²＞β²；⑤α²≤β²

其中正确的序号是： ．

解：令f（x）=xsinx，x∈[﹣π/2，π/2]，

∵f（﹣x）=﹣x·sin（﹣x）=x·sinx=f（x），

∴f（x）=xsinx，x∈[﹣π/2，π/2]为偶函数．

又f′（x）=sinx+xcosx，

∴当x∈[0，π/2]，f′（x）＞0，

即f（x）=xsinx在x∈[0，π/2]单调递增；

同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈[﹣π/2，0]单调递减；

∴当0≤|β|＜|α|≤π/2时，f（α）＞f（β），

即αsinα﹣βsinβ＞0，反之也成立，

∴α²＞β²．

故答案为④．

考点分析：

三角函数线．

题干分析：

构造函数f（x）=xsinx，x∈[﹣π/2，π/2]，利用奇偶函数的定义可判断其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx可判断f（x）=xsinx，x∈[0，π/2]，与x∈[﹣π/2，0]上的单调性，从而可选出正确答案．

典型例题分析2：

已知函数f（x）=√3sin2x-cos2x的图象在区间[0，a/3]和[2a，4π/3]上均单调递增，则正数a的取值范围是

A．[π/6，5π/12]

B． [5π/12，π]

C． [π/4，π]

D．[π/4，2π/3]

解：由函数f（x）=√3sin2x-cos2x=2sin（2x﹣π/6），

令-π/2+2kπ≤2x﹣π/6≤π/2+2kπ

得：-π/6+kπ≤x≤π/3+kπ，k∈Z．

当k=0时，可得增区间为[-π/6，π/3]，

∵在区间[0，a/3]和[2a，4π/3]上均单调递增

则a/3≤π/3，

∴0＜a≤π．

当k=1时，可得增区间为[5π/6，4π/3]，

则2a≥5π/6，

∴a≥5π/12．

综上可得：π≥a≥5π/12．

故选B

考点分析：

正弦函数的单调性；三角函数中的恒等变换应用．

题干分析：

求解出函数f（x）=√3sin2x-cos2x的单调增区间，根据在区间[0，a/3]和[2a，4π/3]上均单调递增建立关系可得答案．