【高考数学】每日一题：第718题，导数有关的题型讲解

典型例题分析1：

已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列{1/f（n）}的前n项和为Sn，则S2017的值为（　　）

A．2017/2018

B．2014/2015

C．2015/2016

D．2016/2017

解：f'（x）=2x+m，可设f（x）=x2+mx+c，

由f（0）=0，可得c=0．

可得函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为2+m=3，

解得m=1，

即f（x）=x2+x，

则1/f（n）=1/（n2+n）=1/n﹣1/（n+1），

数列{1/f（n）}的前n项和为Sn，

则S2017=1﹣1/2+1/2﹣1/3+…+1/2017﹣1/2018

=1﹣1/2018

=2017/2018．

故选：A．

考点分析：

利用导数研究曲线上某点切线方程．

题干分析：

由题意可设f（x）=x2+mx+c，运用导数的几何意义，由条件可得m，c的值，求出1/f（n）=1/（n2+n）=1/n﹣1/（n+1），再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．

典型例题分析2：

已知对任意实数k＞1，关于x的不等式k（x-a）＞2x/ex在（0，+∞）上恒成立，则a的最大整数值为（　　）

A．0

B．﹣1

C．﹣2

D．﹣3

考点分析：

利用导数求闭区间上函数的最值．

题干分析：

求出函数的导数，得到函数的单调区间，画出函数的大致图象，结合图象求出a的范围，从而确定a的最大整数值即可．

典型例题分析3：

考点分析：

定积分．

题干分析：

先利用微积分基本定理求出a，得到函数的解析式，再求导函数，根据导数和函数的单调性关系，求出函数y=x+1/x的最大值即可．

解题反思：

本题以函数为载体，考查微积分基本定理，导数的运用，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题。

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