【高考数学】每日一题：第739题，数列求和有关的综合题型

典型例题分析1：

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，an·an+1=4Sn﹣1

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设bn=1/anan+1，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜1/2．

解：（Ⅰ）an·an+1=4Sn﹣1，

将n换为n﹣1，可得an﹣1·an=4Sn﹣1﹣1，

两式相减可得，an（an+1﹣an﹣1）=4an，

由an≠0，可得an+1﹣an﹣1=4，

{an}为等差数列，可得（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）=4，

即有公差d=an﹣an﹣1=2，

当n=1时，a1·a2=4S1﹣1，即为a1（a1+2）=4a1﹣1，

解得a1=1，可得数列{an}的通项公式为an=a1+（n﹣1）d

=1+2（n﹣1）=2n﹣1；

考点分析：

数列的求和；数列递推式．

题干分析：

（Ⅰ）将n换为n﹣1，两式相减可得an+1﹣an﹣1=4，由{an}为等差数列，可得公差d=an﹣an﹣1=2，再求首项可得1，运用等差数列的通项公式即可得到所求通项；

（Ⅱ）求得bn=1/（2n-1）（2n+1）={1/（2n-1）-1/（2n+1）}/2，运用数列的求和方法：裂项相消求和，结合不等式的性质，即可得证．

典型例题分析2：

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+n2（n∈N*）

（Ⅰ）证明：数列{an﹣2n﹣3}是等比数列；

（Ⅱ）设bn=1/（an+3·2n），求数列{bnbn+1}的前n项和Tn．

考点分析：

数列的求和；等比关系的确定．

题干分析：

（Ⅰ）通过Sn=2an+n2与Sn﹣1=2an﹣1+（n﹣1）2（n≥2）作差可知an=2an﹣1﹣2n+1，进而化简（an-2n-3）/（an-1-2（n-1）-3）即得结论；

（Ⅱ）通过（I）裂项可知bnbn+1={1/（2n+3）-1/（2n+5）}/2，进而并项相加即得结论．

▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽▽