【高考数学】每日一题：第744题，立体几何有关的例题讲解分析

典型例题分析1：

在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E，F分别是线段PB，PC上的动点．则下列说法错误的是（　　）

A．当AE⊥PB时，△AEF﹣定为直角三角形

B．当AF⊥PC时，△AEF﹣定为直角三角形

C．当EF∥平面ABC时，△AEF﹣定为直角三角形

D．当PC⊥平面AEF时，△AEF﹣定为直角三角形

解：A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，

∴AE⊥BC，可得：AE⊥平面PBC，

∴AE⊥EF，

∴△AEF﹣定为直角三角形，正确．

B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，因此不正确；

C．当EF∥平面ABC时，平面PBC∩ABC=BC，可得EF∥BC，

∵PA⊥底面ABC，AB⊥BC，

∴BC⊥平面PAB，

∴BC⊥AE，因此EF⊥AE，则△AEF﹣定为直角三角形，正确；

D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE，

∴AE⊥平面PBC，

∴AE⊥EF，因此△AEF﹣定为直角三角形，正确．

故选：B．

考点分析：

棱锥的结构特征．

题干分析：

A．当AE⊥PB时，又PA⊥底面ABC，AB⊥BC，可得AE⊥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得AE⊥EF，即可判断出正误．

B．当AF⊥PC时，无法得出△AEF﹣定为直角三角形，即可判断出正误；

C．当EF∥平面ABC时，可得EF∥BC，利用线面垂直的判定与性质定理可得：BC⊥AE，EF⊥AE，即可判断出正误；

D．当PC⊥平面AEF时，可得PC⊥AE，由C可知：BC⊥AE利用线面垂直的判定与性质定理即可判断出正误．

典型例题分析2：

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2AD=2DC=2CB=2，四边形ACFE是矩形，AE=1，平面ACFE⊥平面ABCD，点G是BF的中点．

（Ⅰ）求证：CG∥平面ADF；

（Ⅱ）求二面角A﹣EF﹣D的平面角的余弦值．

证明：（Ⅰ）取AB的中点H，连结CH，GH，

∵AB=2，AH=2CD，且DC∥AB，

∴AH∥DC，且AH=DC，

∴四边形AHCD是平行四边形，∴CH∥DA，

∵CH⊄平面ADF，DA⊂平面ADF，

∴CH∥平面ADF，

∵点G是BF的中点，H是AB的中点，

∴GH是△ABF的中位线，∴GH∥AF，

∵GH⊄平面ADF，AF⊂平面ADF，

∴GH∥平面ADF，

又CH∩GH=H，∴平面CHG∥平面ADF，

∵CG⊂平面CHG，∴CG∥平面ADF．

（Ⅱ）∵AB∥CD，AB=2AD=2CD=2CB=1，

∴四边形ABCD是等腰梯形，H是AB中点，

∴四边形AHCD是菱形，CH=AB/2，

∴BC⊥AC，

又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，

∴BC⊥平面ACFE，BC⊥FC，

∵四边形ACFE是矩形，FC⊥AC，

∴以C为原点，CA，CB，CF所在直线分别为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，

考点分析：

二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．

题干分析：

（Ⅰ）取AB的中点H，连结CH，GH，推导出四边形AHCD是平行四边形，从而CH∥DA，进而CH∥平面ADF，由GH是△ABF的中位线，得GH∥平面ADF，从而平面CHG∥平面ADF，由此能证明CG∥平面ADF．

（Ⅱ）以C为原点，CA，CB，CF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣EF﹣D的平面角的余弦值．

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