今年的高考，不出意外，还是会考到此块热点内容

在高中数学学习过程中，方程函数思想在其中发挥了十分重要的作用，通过对函数与方程的学习，这不仅能够让学生灵活运用方程函数思想，将复杂繁琐的数学问题转化为简单易计算的问题，从而增强学生学习化学的热情，培养学生创新思维，使得学生真正的了解数学、热爱数学。

通过对历年高考数学试题的研究发现，函数与方程有关的考点和试题大致分为三大类：

一是函数的性质与图像；

二是函数与方程、不等式、数列、导数的综合问题；

三是函数的实际应用。

值得注意的是涉及到的函数思想有分类讨论思想、数形结合思想、等价转化思想等。

具体高考试题设置，会出现客观题和解答题，如一道是很基础的题目，一般出现在前面的客观题中，常考查基本函数的性质或零点问题，另一道常以压轴的客观题出现，常与方程的根或复合函数为背景考查，有一定的难度和灵活性。

最重要的是解答题常与导数、不等式综合考查，大多出现在最后两道解答题中，考查学生综合运用函数、导数、不等式的能力。

什么是函数的零点？

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

函数零点的判定(零点存在性定理)：

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

函数与方程有关的高考试题分析，讲解1：

已知二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c.

(1)若a>b>c，且f(1)＝0，试证明f(x)必有两个零点；

(2)若对x₁，x₂∈R，且x₁<x₂，f(x₁)≠f(x₂)，方程f(x)＝[f(x₁)＋f(x₂)]/2有两个不等实根，证明必有一个实根属于(x₁，x₂)．

方程与函数是高考数学中非常重要的知识点，方程函数思想是解决现实生活中数量关系和变化规律的重要思维方式。函数思想指导我们运用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

函数与方程有关的高考试题分析，讲解2：

对于定义域为D的函数f(x)，若存在区间M＝[a，b]⊆D(a<b)，使得{y|y＝f(x)，x∈M}＝M，则称区间M为函数f(x)的“等值区间”．给出下列四个函数：

①f(x)＝2^x；②f(x)＝x³；

③f(x)＝sin x；④f(x)＝log₂x＋1.

则存在“等值区间”的函数是________．(把正确的序号都填上)

解析：问题等价于方程f(x)＝x在函数的定义域内是否存在至少两个不相等的实根，由于2^x>x，故函数f(x)＝2^x不存在等值区间；

由于x³＝x有三个不相等的实根x₁＝－1，x₂＝0，x₃＝1，故函数f(x)＝x³存在三个等值区间[－1,0]，[0,1]，[－1,1]；

由于sin x＝x只有唯一的实根x＝0，结合函数图象，可知函数f(x)＝sin x不存在等值区间；

由于log₂x＋1＝x有实根x₁＝1，x₂＝2，故函数f(x)＝log₂x＋1存在等值区间[1,2]．

答案：②④

函数与方程有关的高考试题分析，讲解3：

m为何值时，f(x)＝x²＋2mx＋3m＋4.

(1)有且仅有一个零点；

(2)有两个零点且均比－1大．

函数与方程常常会考查函数的零点、方程的根和两函数图像交点之间的等价转化思想和数形结合思想。有时与函数的单调性、奇偶性、周期性结合研究方程根的分布区间或者零点的存在性、零点的个数问题考查；有时通过对方程根的分布情况的研究，综合考查不等式的求解、函数的图像与性质等问题。

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