期末复习已经开始，从本讲起，我们直接从题目中发掘知识难点，提升同学们的成绩！ 开始吧！ 1、方程思想 例1： 已知∠AOB＝160°，∠COE＝80°，OF平分∠AOE． （1）如图1，若∠COF＝n°，则∠BOE＝______°，∠BOE与∠COF的数量关系为_______； （2）当射线OE绕点O逆时针旋转到如图2的位置时，（1）中∠BOE与∠COF的数量关系是否仍然成立？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如图3，在∠BOE的内部是否存在一条射线OD，使得∠BOD为直角，且∠DOF＝3∠DOE？若存在，请求出∠COF的度数；若不存在，请说明理由． 分析： (1)(2)根据∠EOC和∠COF的度数，可以求出∠FOE的度数，从而可求∠AOE的度数，从而将∠AOB的度数减去∠AOE的度数，就是∠BOE的度数，若将∠EOF的度数用n来表示，或将位置改变，方法也是不变的． (3)要求∠COF的度数，只需求出∠EOF的度数，用∠COE的度数相减即可．而要求∠EOF的度数，我们可以借助∠DOF＝3∠DOE的条件，最后，利用∠AOD＋∠BOD＝160°，建立方程． 解答： (1)设∠COF＝n°， ∠FOE＝∠COE－∠COF＝(80－n)°， ∵OF平分∠AOE， ∴∠AOE＝2∠FOE＝(160－2n)°， ∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE ＝160°－(160－2n)°＝2n°， ∴∠BOE＝2∠COF． (2)结论仍然成立，方法同(1)． (3)∵OD⊥OB，∴∠BOD＝90°， 设∠DOE＝x°，∴∠DOF＝3x°， ∠FOE＝∠DOF－∠DOE＝2x°， ∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠FOE＝4x°， ∴∠AOE＋∠DOE＋∠BOD＝∠AOB， 4x＋x＋90＝160，x＝14， ∴∠EOF＝2x°＝28°， ∠COF＝∠COE－∠EOF＝80°－28°＝52° 2、分类讨论 例2： 分析： 解答： 3、旋转相关 例3： 已知直线AB和CD交于点O，∠AOC 的度数为 x，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD． (1)当x＝19°48′，求∠EOC与∠FOD的度数． (2)当x＝60°，射线OE、OF 分别以10°/s，4°/s的速度同时绕点O顺时针转动，求当射线OE与射线OF 重合时至少需要多少时间? (3)当x＝60°，射线OE以10°/s 的速度绕点O顺时针转动 ， 同时射线OF也以4°/s的速度绕点O逆时针转动，当射线OE转动一周时射线OF也停止转动．射线OE在转动一周的过程中当∠EOF＝90° 时，求射线OE 转动的时间． 分析： (1)问非常简单，不再赘述． (2)这是一个追及问题，射线OE的速度快，显然是OE在后追OF，追及的度数是用360°减去∠EOF的度数． (3)由于方向变化，问题又变成了一个相遇问题，相遇前，两射线的夹角与第(2)问相同，要使夹角为90°，则转过的度数之和分3种． 相遇之前，夹角为90°，即转过的度数之和为(2)中的度数减去90°． 相遇之后，夹角为90°，即转过的度数之和为(2)中的度数加上90°． 相遇之后，夹角为(360－90)°，即转过的度数之和为(2)中的度数加上(360－90)°． 解答： (1)∵∠BOE＝90°， ∴∠AOE＝∠AOB－∠BOE ＝180°－90°＝90°， ∴∠EOC＝∠AOE－∠AOC ＝90°－19°48′＝70°12′ ∠AOD＝∠COD－∠AOC ＝180°－19°48′＝160°12′ ∵OF平分∠AOD， ∴∠FOD＝1/2∠AOD＝80°6′ (2)∵∠AOC＝60°，∴∠AOD＝120°， ∠AOF＝60°， ∠EOF＝∠AOF＋∠AOE＝150°， 解设t秒后重合， (10－4)t＝360－150，t＝35． (3) 4、定值探究 例4： 分析： 解答： 5、双角平分线 例5： 如图，两个形状、大小完全相同的含有30°，60°角的三角尺如图①放置， PA， PB与直线 MN重合，且三角尺 PAC，三角尺 PBD均可以绕点 P逆时针旋转． (1)试说明：∠DPC＝90°； (2)如图②，若三角尺PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度， PF平分∠APD， PE平分∠CPD，求∠EPF； (3)如图③，若三角尺PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角尺PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，在两个三角尺旋转过程中(PC转到与PM重合时，两三角尺都停止转动)，试说明：∠BPN＝2∠CPD． 分析： (1)问简单，不再赘述． (2)典型的双角平分线问题，先找出现两次的边，即公共边，PD，则组成∠EPF的两条边，PE，PF，必然与PD形成2个角，∠FPD，∠EPD，则∠EPF必为这两个角的差或和，然后利用一半减一半，或一半加一半解决． (3)分别用含t的代数式表示∠BPN，∠CPD，注意∠CPD在表示时，要考虑到PD旋转到MN下方的情况，因此，用平角∠MPN＋∠MPN－∠BPD－∠APC－∠APN最合适． 解答： (1)∵PA， PB与直线 MN重合，∴∠APB＝180° 又∵∠CPA＝60°，∠DPB＝30°， ∴∠DPC＝∠APB－∠CPA－∠DPB ＝180°－30°－60°＝90°； 6、动点综合 例6： 已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数﹣24，﹣10，10．两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒． （1）问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ （2）问多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位？若此时甲调头往回走，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由． （3）若甲、乙两只电子蚂蚁（用P表示甲蚂蚁、Q表示乙蚂蚁）分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点O、甲蚂蚁P与乙蚂蚁Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 分析： 本题是一道好题，将动点问题中3个重要知识点串联在了一起， (1)如何表示t秒时，某个点表示的数，(2)如何表示t秒时，两个点之间的距离，(3)如何表示两个点的中点． (1)问，可以用行程问题解决，但我们可以用相遇时，这两个点表示的数相等来建立方程． (2)分别用含t的绝对值代数式来表示后甲到A，B，C三点的距离．然后建立关于t的绝对值方程，注意，要考虑所求时间是否在范围内，调头走的时间是否合题意． (3)依旧可以用含t的代数式表示t秒时，点P，点Q表示的数，利用中点公式，建立方程求解． 解答：
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