空间中的平行关系（二）

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空间中的平行关系（二）

第二讲我们陈述了空间中直线、平面间的位置关系，其中“平行”是一种非常重要的关系，值得我们特别关注．不过，我们对“平行”的认知还仅停留在简单描述的定义层面——直线与平面平行就是直线与平面没有公共点，平面与平面平行也是它们没有公共点．这一讲我们将要学习如何判定一条直线与一个平面平行（两个平面平行）以及一条直线与一个平面平行（两个平面平行）会有什么样的性质．

平面与平面的平行关系

       该怎样判定两个平面互相平行呢？

       根据定义可知，判定平面与平面平行的关键在于判断它们有没有公共点．但是，平面无限延展，如何保证两个平面没有公共点呢？我们无法触及无限，一一查验．

       在直线与平面平行的判定中，我们是通过直线间的平行推证直线与平面平行，即直线与平面的平行关系可以转化为直线间的平行关系．类似地，平面与平面的平行关系能否转化为直线与平面的平行关系呢？

       不难发现，若一个平面内的所有直线都与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行．否则，这两个平面就会有公共点，这样在一个平面内通过这个公共点的直线就不平行于另一个平面了．但我们无法查验所有直线，那应该检查几条直线呢？且看如下判定定理．

平面与平面平行的判定定理

证明

平面与平面平行的判定定理告诉我们，可以由直线与平面平行判定平面与平面平行，而直线与平面平行又由直线与直线平行判定，归根结底，还是要回到平面内找寻直线与直线平行．“线线平行”是空间中直线、平面间平行关系的基础．

例题

平面与平面平行判定定理的推论

注意

证明

注：该推论是由直线与直线平行推证平面与平面平行，中间绕过了直线与平面平行，但本质上（证明过程中）还是经历了直线与平面平行．需要交代的是，该推论在课本上并未以黑体字出现，所以考试时不能直接使用（无奈），还要先“绕到”直线与平面平行上去．

       由第二讲的例7（3）知，如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线可能平行，也可能异面（总之，没有公共点）．那么，该如何找到（作出）那些互相平行的直线呢？

平面与平面平行的性质定理

证明

平面与平面平行还有一些其他的性质：

例题

结语

      从前面的讨论我们可以看到，通过直线与平面平行可以判定平面与平面平行；

      而由平面与平面平行的定义及性质定理可以得出直线与平面平行、直线与直线平行．

      进一步揭示出直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系可以相互转化．