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不等函数恒成立,多种方法显威力——2019年全国II卷第20题赏析

这是一个刷题的时代,老师刷题,以为从此天下无题不解。学生刷题,以为是提高解题能力的速成宝典。于是刷题风起,把刷题当作学习数学的魔方,把题海捧为成就学霸的金丹。

大海茫茫靠灯塔,题海茫茫凭典例,殊不知一道题做透了,要远胜过做一百道题。刷百题不如解透一题,多做题固然必不可少,但多反思更难能可贵。

编校:山东临沂舒敬华

(2)

解法一:构造差函数,直接讨论法

解法二:借助洛必达,分离参数法

该方法的洛必达法则并非高中内容,对于分母是关于x的一次形式,也可以以通过导数的定义来避免超纲扣分,详情可看:洛必达法则?用它解题高考扣分吗?

解法三:缩小包围圈,必要探路法

解法四:巧用特殊值,端点效应法

解法五:视为双函数,数形结合法

评论与赏析:导数中的恒成立问题始终是高考中的重点和热点题型,以上五种方法,是解决这类问题的通性通法.解法一的直接讨论法,有时需要对参数进行繁杂的讨论.解法三的必要性探路法可以有效的缩小参数的取值范围,减少讨论的类数.

解法二的分离参数法,可以把含有参数的函数转化为具体的函数,可操作性更强,但是有时会用到洛必达法则,这也许是官方标准答案很少用分离参数法的原因,采用洛必达法则是否扣分各个省市评卷细则各不一样,目前没有明确定论.解法四、五一般多用于选填题,解答题采用此法不够严谨,在考场上采用此方法也有扣分的风险.

其他部分2019真题分析:

圆锥曲线取代导数,成功上位——2019年全国II卷第21题 

平稳中传承,平实中创新——2019年全国III卷第15题

数形结合千般好,隔离分家万事休——2019年浙江卷第9题

数列不动点探路,逆向思维更一筹——2019年浙江卷第10题

三次函数图像解,换元构造绝对值——2019年浙江卷第16题

数形兼顾,最值易求——2019年浙江卷第17题

数 学 研 讨

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