概念教学需要以典型丰富的实例为载体, 引导学生展开观察、分析各实例的属性, 抽象概括共同本质属性, 从而归纳形成数学概念.概念的建构必须着眼于数学现实, 概念的理解需要经历数学思考, 概念的应用需要体悟数学抽象.
基金：江苏省中小学教学研究第十二期课题“基于核心素养发展的初中数学实验教学研究”[编号:2017JK12-L117]的研究成果;
笔者执教苏科版义务教育教科书《数学》八年级上册《全等图形》一课时, 通过建构操作活动, 引领学生经历图形研究的过程, 体悟概念生成, 收到很好的教学效果, 受到同行的一致好评.现将课堂实录及感悟整理成文, 与同行交流研讨.
师:德国数学家莱布尼兹曾说过:“世界上没有两片完全相同的叶子.”
【解析】用数学的眼光来看这两片叶子, 我们不再关注它作为生物的一种特性, 只关注它的数量关系和空间形式.
(演示课件) 师:如果把这两片叶子叠合到一起去, 你会有什么发现?
生:重合!
师:你能再举点这样的例子吗?
生:比如黑板、教室的窗户等.师:这一类图形有何特质?
生:通过平移或旋转后会重合.
师:能完全重合的图形称为“全等图形”.
【解析】学生对现实世界中的全等现象是熟悉的, 但对其数学属性并不了解, 因此, 笔者设计了用数学的眼光观察世界, 引导学生从一类图形的共性特征中抽象出全等图形的概念.
探究活动1:观察与验证.
师:如图1, 观察下列图形, 请找出其中的全等图形并连线, 再运用实验材料进行验证.
图1 下载原图
师:你是怎么找到的?
生:目测.
师:眼见未必为实, 你有办法来验证吗?
生:旋转透明纸上的菱形, 发现它们能够重合.
师:非常好, 请坐!要判断两个图形是否全等, 只要把它叠合到一起去, 看是否完全重合.但是这个图形是拿不出来的, 利用透明纸把图形“拿”出来比较, 就可以判断了.
【解析】纸上呈现的图形是不可移动的, 学生只能依靠“目测”来判断, 但这种“目测”并不严谨.因此, 笔者通过提供和图1完全一样的透明材质的操作材料, 引导学生通过数学实验将图形运动从不可操作转化为可操作, 真正让学生经历图形研究的过程.
师:如果把一个图形平移 (如图2) , 平移后的图形跟原图形全等吗?
生:是.
师:为什么?
生:因为平移时没有改变图形的形状、大小.
师:如果旋转后像图3这样全等吗?
生:也是.
师:翻折后像图4这样呢?.
生:也是
【解析】从人的思维角度而言, 既然判断图形是否全等可以借助平移、旋转、翻折来验证图形是否重合, 那么反过来呢?结论还成立吗?
探究活动2:同一张底片冲印出来的1寸照片和2寸照片.
师:这两张照片是全等图形吗?
生:不是, 大小不同.
探究活动3:如图5, 下列两个由三个边长为1的小正方形组成的图形全等吗?
生:不是, 因为它们形状不一样.
师:那么你有办法让它们变成一样吗?
(学生上台操作, 如图6)
师:这个方法很好, 有其他办法吗?
(学生上台操作, 如图7、图8)
【解析】通过控制形状和大小这两个变量让学生深度理解概念.
蜇 (三) 用数学语言表达问题——对全等关系的深入研究
复杂中抽象基本, 训练学生识图技能
探究活动4:操作与实践.
师:如图9, 观察图形, 你能找出图中的全等图形吗?
图9 下载原图
(学生小组活动)
生:可以找一下对称轴, 依据对称轴可以找出对称图形.比如说竖着的, 横着的也行.
师:怎样才能不重复和遗漏呢?
生:我们对它进行分解或分类.
师:最小的三角形有几个?
生:12个.
师:再找哪个?
生:边长为3的三角形有6个, 最大的三角形有2个.
师:三角形找完了, 应该找……
生:四边形.
师: (边演示边说) 还有梯形, 还有更大的梯形, 还有最大的梯形……还有不规则的图形, 同学们可以找出非常多的全等图形, 如图10.
师:找全等图形时需要把握什么样的特征呢?
生:我认为是形状相同, 大小也要相等.
师:很好, 你抓住了全等图形的基本特征.
【解析】通过这样的识图训练, 一方面可以让学生在概念的形成过程中提升自己的思维能力, 因为只有在思维过程中获得的经验才更有价值;另一方面, 可以让学生进一步体悟分类讨论的思想.룜
2.运动中感悟本质, 培养学生空间观念
探究活动5:操作与实践.
师:如图11, 图中 (2) 是由 (1) 经过怎样的运动得到的?
图1 1 下载原图
生:向右平移5个单位.
师:按照这样的规律, 你能在操作纸上画出下一个图形吗?除了平移, 再进行翻折又是怎么样?
(教师展示学生的作品, 如图12、图13、图14)
生:图12中的 (3) 是由 (2) 继续向右平移5个单位得到的.
生:图13中的 (3) 是由 (2) 继续向右平移3个单位, 然后翻折过来得到的.
师:如果先翻折再平移是不是一样的呢?
生:是.
师:那图14呢?谁来说说?
生:由图 (1) 先顺时针旋转90°得到图 (2) , 再由图 (2) 旋转90°并翻折过来得到图 (3) .
师:你观察得非常仔细.运动只是改变了图形的位置、形状和大小不变.今后我们将会经常用运动的视角来研究图形, 运动前后的两个图形全等.샵
【解析】笔者设计了“描述图形的运动和变化, 并依据语言的描述来画出图形”这一操作活动, 让学生尽可能多地观察、操作、类比, 从而发展学生的空间观念.
变化中寻找不变, 体悟数学抽象思维
小组讨论:如图15, 你能用不同的方法, 沿网格线将正方形分割成两个全等的图形吗?
(学生小组合作, 5分钟后学生上台演示, 展示成果, 如图16)
师:说说看, 你们是怎么找到这些分割线的?
生:我们是一条一条试出来的.
师:有没有一般的方法呢?
(生沉默)
师:横向与纵向其实是一样的, 因此, 我们只要找到一个方向就可以了.我们不妨选择横向.大家仔细观察一下, 分割后两个图形是什么关系?
生:全等.
师:这些分割线都经过一个什么点?
生:中心点.
师:你能想清楚为什么吗?쀋
生:因为分割后的两个图形经过旋转是能够重合的.换句话说, 这个分割线也一定被中心点分割成两个全等图形.
师:你的发现真妙!其实我们寻找分割线, 就是要找从左侧边界上的点到中心点的连线就可以了.如图17, 这两个点之间沿网格线有几条可连的分割线呢?
生:四条.
师:还有别的发现吗?
生:左侧中间那个点与中心点之间也有两条可连的分割线.
师:同学们再画时, 是不是就简单了?只要画出左半边的分割线, 根据全等图形的特征, 另外半边就马上可以补出来了.
【解析】引导学生在变化中寻找不变, 由全等的概念展开联想, 从而抽象出两个点之间的连线, 让学生经历数学思考的过程, 从而提升学生的思维能力.
本节课是《全等三角形》单元的起始课, 又是学习平面图形关系的引言课, 隐含地指出平面几何的研究对象是图形的形状和大小, 把对称、平移和旋转作为研究平面几何的基本工具, 把图形的分割与拼接作为研究平面几何的基本方法.
概念教学的核心是概括, 需要以典型丰富的实例为载体, 引导学生展开观察、分析各实例的属性, 抽象概括共同本质属性, 从而归纳形成数学概念.对全等图形数学特质的描述是一个看似简单、却又有丰富内涵的过程.教材将全等图形的概念描述为“能够完全重合的图形称之为全等图形”, 其特征为“形状相同、大小相等”.那么, 为什么不直接将全等图形定义为“形状相同、大小相等”呢?笔者认为, 根源在于难于进行观察和运算, 用数量关系来描述图形的形状、大小的难度要比“重合”要高.从这个意义上来说, 图形全等的数学本质就是“重合”.因此建构“全等图形”的概念必须引导学生用数学眼光来观察身边的“重合”现象, 从而提炼出这一类图形的共性特征.
就教师而言, “全等图形”无疑是一个非常简单的概念, 但这种“简单”其实是我们在数学学习过程中历经千辛万苦、长期积累才得到的.由于数学概念的高度抽象性, 学生对貌似简单的数学概念往往需要费很大周折才能真正理解.如果忽视这一点, 就会造成教师以为学生很懂, 而学生实质“懵懂”的教学现象.因此, 在教学中, 教师必须要追溯概念本源, 展现其形成过程, 充分挖掘概念的内涵和外延, 帮助学生理解全等图形的特征.
本课例首先借助“数学实验”帮助学生从感性上来体悟图形的全等.由于缺少对图形的数量关系的描述, 学生对于两个图形是否“完全重合”的判断只能依赖目测, 猜想图形“全等”.这种验证方法并不可靠.显然, 印在纸上的平面图形无法运动, 但是, 借助数学实验材料——透明纸, 就能实现图形的平移、旋转、翻折, 从而判断图形是否全等.
其次利用“逆向思维”建构认知冲突来思辨概念.既然可以用平移、旋转、翻折的方法来检验图形是否重合, 那么平移、旋转、翻折后的图形是否和原图形全等?这样的想法自然产生, 而通过对这个问题的说理思辨可以让学生进一步加深对“完全重合”这一概念的理解.
最后通过控制“形状”“大小”这两个变量来挖掘概念的内涵和外延.笔者先利用“同一底片”来控制形状, 再“利用3个边长为1的正方形”来控制大小, 让学生感悟“完全重合”的特征就是“形状、大小相同”, 而形状、大小是可以用数量关系来描述的, 通过有趣且有效的数学活动让学生深度理解全等图形的特征.
数学抽象要以基于感知和操作所得到的知识经验为基础, 通过典型实例引导学生比较、分析, 充分讨论、理解归纳共同属性.本节课站在系统思维的高度引领学生经历图形研究的过程, 体悟概念生成的基本方法.一是通过从复杂图形中抽象出基本的全等图形, 培养学生的识图能力, 感悟分类讨论的数学思想.二是根据图形变换规律画图, 让学生在画图过程中描述图形的运动和变化, 并依据语言描述来画出图形, 发展学生的空间观念.三是沿网格线分割正方形, 借助一个有挑战性的活动来积累图形研究的经验, 笔者在教学过程中引导学生从他们所画的图形中寻找共性, 进而引导学生发现所有的分割线均隐藏在三个特殊“点”之间的连线上.
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