几何画板中双动点在两个不同折线上的运动动画制作
这里的几何画板使用的是几何画板5.04版2012年2月28日修订版本，可以到【gsp&ggb实验室】网站下载。
（2011年吉林数学中考题28题）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，CE⊥AD于点E，AD=8cm，BC=4cm，AB=5cm，从初始时刻开始，动点P、Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1cm/s，动点P沿A—B—C—E的方向
运动，到点E停止；动点Q沿B—C—E—D的方向运动，到点D停止。
设运动时间为xs，△PAQ的面积为ycm2，（这里规定：线段是面积为0的三角形）
解答下列问题：
（1）当x=2 s时，y= cm2 ；
当x=9/2s时，y= cm2。
（2）当5≤x≤14时，求y与x之间的函数关系式。
（3）当动点P在线段BC上运动时， 求出
时x的值。
（4）直接写出在整个运动过程中，使PQ与四边形ABCE的对角线平行的所有x的值。
步骤一：基本图形的绘制
1．利用【点工具】在绘图区任意绘制一点，标记为A。选中点A，单击菜单栏中的【变换】→【平移】，得到
“平移”对话框，在极坐标方式下，将“固定距离”设为1cm，“固定角度”设为0°，单击【平移】，得到
平移的点。依次选中点A和平移后的点，单击菜单栏中的【构造】→【射线】，得到一条射线，该射线处于
被选中状态。保留射线的选中状态，再单击【构造】→【射线上的点】，得到射线上的一点，拖动该点到
合适位置，标记为点D。拖动点D，可以看到点D只能在射线上移动。隐藏平移后的点和射线，可以得到图1
所示。
２．（1）双击点A，将其标记为缩放中心，再选中点D，单击菜单栏中的【变换】→【缩放】，得到缩放对话
框，在默认的情况下，缩放参数的固定比是 1/2 ，这里将分子改为5，分母改为8，单击【缩放】，得到
第一个缩放点。再双击点A，将其标记为旋转中心，选中缩放点，单击【变换】→【旋转】，得到旋转
对话框，在默认的情况下，旋转参数为固定角度为90°，我们直接单击【旋转】，得到旋转点，标记为B。
可以得到图2所示。
注意：这里的AD长并不是8cm，但是AB与AD的比值正好是5/8 ，相当于把原来的图形进行了缩放（8cm比较
大，因此我们需要缩小处理）。
（2）双击点A，将其标记为缩放中心，再选中点D，单击菜单栏中的【变换】→【缩放】，得到缩放对话框，
图3-1
将缩放参数的固定比，分子改为4，分母改为8，单击【缩放】，得到第二个缩放点（即AD的中点）。依次
选中点A、B（这里注意选点的顺序），单击菜单栏中的【变换】→【标记向量】，可以看到从点A到点B的
动画闪烁，再选中第二个缩放点，单击菜单栏中的【变换】→【平移】，得到“平移”对话框，如图3-1
所示，“平移变换”已经默认为“标记”方式，且已经是从点A到点B，单击【平移】，得到平移的点，
标记为点C，可以得到图3-2所示。
（3）选中第一个缩放点，单击【显示】→【隐藏点】，将此点隐藏。将第二个缩放点标记为点E。再依次选中
点A、B、C、D，单击【构造】→【线段】，得到四边形ABCD。同样方法构造线段CE（构造线段也可以使用
快捷键Ctrl+L）。结果如图4所示。
步骤二：动点及动态三角形的绘制
3．主动点的绘制（选点P为主动点）
（1）利用【多边形工具】（不带边界），依次单击点A、点B、点C和点E，再在点C附近任意单击一下，点B的
附近任意单击两下（注意不能与已经单击的四个点重合）可以得到一个带内部的多边形，如图5所示。接着
单击【构造】→【边界上的点】，得到的点标记为点P（得到点是多边形上的任意点），如图6所示。(这里
构造多边形，是因为点P的运动路径为折线，所以要构造封闭路径保证点P的连续运动，封闭路径要构造成
多边形才可以保证点的运动的连续性，后面点Q的路径类同)。
将点B和它附近的点选中，单击【编辑】→【合并点】，点B和它附近的点合并为一点，同样将点C和它
附近的点合并。拖动点P，可以看到点P在折线A—B—C—E上连续移动。拖动字母P调整其位置在多边形ABCE
的外部，如图7所示。
（2）双击线段AD，标记为镜面（可以看到动画闪烁），再单击点B、C，单击【变换】→【反射】，得到这两点
的对称点，如图8所示。单击工具栏中的【多边形工具】（不带边界），接着单击点A、点B、点 C、点C的
对称点，双击点B的对称点，结果如图9所示。图形的选中状态保持不变，接下来单击点P，同时按住Shift
键，单击【度量】→【点的值】，得到点P在多边形上的相对位置度量值，即“P在ABCC'B’上=……”（这
里由于点P只能在折线A-B--C-E上运动，所以等号后面的值在0.00到0.50间变化，后面要将这个值乘以2，
保证在线段上的值在0.00到1.00之间变化），如图10中的文本框所示（拖动点P，等号后面的值随点P的位
置改变）。拖动度量值文本框，可以调整其位置。
图10 图11
（3）选中多边形BCC’B’和点C’、B’，单击【编辑】→【操作类按钮】→【隐藏/显示】，得到“隐藏对象”
按钮方框，将标签改为“四边形BCC’B’”，单击按钮可以隐藏或显示多边形。
（4）单击【数据】→【计算】，得到“新建计算”计算器，单击点P的度量值，出现在计算器里，再单击对话框
中的乘号“﹡和数字2，如图11所示，单击“确定”，得到第二个度量值文本框，如图12所示。
4．从动点的绘制（把折线上的运动转化为线段上的运动）
（1）单击【线段直尺工具】，画一条任意长度的水平线段，标记为13（1在左，3在右）。
（2）双击点1，标记为缩放中心，再单击点3，单击【变换】→【缩放】，缩放参数是固定比为13/14，得到的
缩放点标记为2。
（3）单击线段13(可以拖动点3，将线段拉长一些容易单击)和图12 中的值（这样可以让点P的运动参数控制这个
点），再单击【绘图】→【在线段上绘制点】，得到的点标记为点P’，如图13所示。
（4）依次选中点1、2，单击【构造】→【线段】，构造线段12，得到线段12后保持选中状态，再选中点P’，
同时按住Shift键，单击【度量】→【点的值】，得到点P’在线段12上的相对位置度量值，即
,
（省略号代表的值随P’的位置改变）。单击【数据】→【计算】，在“新建计算”计算器中计算
的值（方法同前）。（若前面度量值为
,
则计算
的值，这样保证后面绘制的点与点P运动方向一致）
（5）依次单击点B、C、E、D，再在点E附近任意单击一下，点C附近任意单击两下（不能与已经单击的四个点
重合），结果如图14所示，保持图形的选中状态，再单击
的值，单击【绘图】→【在六边形上绘制点】，得到绘制点，标记为Q。分别合并点C、E及其附近的点
（方法同前）。拖动点P，可以看到点Q和点P’都随之运动（这里点P控制点P',点P'控制点Q）。至此，
点Q作为从动点绘制完成.
（6）依次选中点A、P、Q，单击【构造】→【三角形内部】,得到不带边界的三角形。拖动点P，可以看到△APQ
随之改变形状。至此，动态的三角形也绘制完成，如图15所示。
步骤三：函数图象的绘制
5．选中△APQ的内部，单击【度量】→【面积】，得到“△APQ的面积=……”的值（这个值随动点的位置变化
而改变）。单击点A、D，单击【度量】→【距离】,得到“AD=……厘米”的值（这个值随点D的运动变化）,
单击【数据】→【计算】，在“新建计算”计算器中计算“△APQ的面积÷（AD÷8）^2 ”的值，结果如图
16所示。光标放在图16的文本框上，右击鼠标，出现下拉菜单后，单击【属性】，出现度量值对话框后，将
标签改为y，单击【确定】，度量值最后改为“y= ……”（这里不再有单位）。
6．选中图12的度量值（即P在ABCC'B'上*2=……），单击【数据】→【计算】，在“新建计算”计算器中计算
“（P在ABCC'B'上*2=……）*14”的值，再将度量值标签改为x（方法同5），结果为“x=……”。
7．单击【数据】→【新建参数】，出现“新建参数”对话框，将名称改为x，数值改为2，单击【确定】，结果
为
,
同样方法新建参数
（因为x和y的数据较大，在坐标系中需要改变单位长度的值，以便于观察函数图象）。
8．单击【自定义工具】→【蚂蚁坐标系】→【平面直角坐标系【参数版】】，再依次单击
和 ,
移动鼠标以后，此时会出现一个调控手柄，在合适的位置单击一下，调控手柄出现在绘图区，同时出现一组
控制按钮，然后在合适的位置再单击一下，又会出现一个坐标系，可以得到如图17所示。现在的坐标系有点
乱，单击控制按钮中的【系统初始化】，坐标系变成正常态了，拖动坐标系中坐标轴上四个手柄，使坐标系
中刻度值的大小符合x和y的范围（这里0≤x≤14,0≤y≤10），还可以利用图17中的调控手柄调整单位长度
的大小，使其符合绘图需求（自已可以拖动其他手柄，看看它们的作用）。将坐标系调整如图18所示。
9．依次选中“x=…… ”和“y=…… ”，单击【绘图】→【绘制点（x，y）】，可以在坐标系中得到一个点，
拖动点P，这个点随点P运动。
10．给△APQ和坐标系中的点加上颜色：
（1）△APQ随点P的运动形状不断发生改变，我们可以让三角形在不同的位置显示不同的演示。我们先计算
分界点，当0≤x≤4，4<x≤5,5<x≤9，9<x≤13，,13<x≤14时，三角形面积的计算方法不同，所以分界点
为x=4，x=5，x=9，x=13。我们可以新建一个符号函数来构造一个颜色参数yanse，使其控制三角形的颜色变
化。单击【数据】→【新建函数】，在“新建函数”计算器中，输入式子
sgn（sgn（（P在ABCC’B’上*2=……）-x）+1），
得到结果为f（x）=sgn（sgn（（P在ABCC’B’上*2=……）-x）+1）。单击【数据】→【计算】，出现
“新建计算”计算器后，点击f（x）=sgn（sgn（（P在ABCC’B’上*2=……）-x）+1），计算器中出现
f（ ），输入4÷14，单击【确定】，得到“f( 4/14 )=……”，这里省略号所代表的值，只有1.00和
0.00。用同样的方法计算f（5/14）、f（9/14）和f（13/14）的值。接着单击【数据】→【计算】，出现
“新建计算”计算器后，计算
的值，出现度量值文本框后，标签改为“yanse”（方法同5），结果为“yanse=……”。
（2）单击△APQ的内部和度量值“yanse=……”，再单击【显示】→【颜色】→【参数】，出现“颜色参数”对
话框， 如图19所示，【颜色范围】选【单向循环】，【参数范围】选 “0.0”到“2.0”(参数范围一般
选“0.0”到“1.0”)，单击【确定】，拖动点P，则△APQ的内部颜色随之改变。用同样方法给坐标系中的
点设置加上颜色。
图19
11．选中点P和坐标系中的点（此时绘制的点已经自动隐藏，显示出来的点是通过颜色参数设置的点，单击
【构造】→【轨迹】，可以得到y随着x变化的函数图象。可以选中图象，单击【编辑】→【操作类按钮】
→【隐藏/显示】，得到“隐藏轨迹”按钮方框，点击可以隐藏或显示图象轨迹。
12．通过自定义颜色变换构造动态的图像：
（1）选中点P和坐标系中的点，单击【变换】→【自定义颜色变换】，得到“创建自定义变换”对话框，
“自定义变换名称”选默认的“颜色变换1”，单击【确定】。
（2）选中线段13和点P’，同时按住Shift键，单击【度量】→【点的值】，得到
，
单击【数据】→【计算】，出现“新建计算”计算器后，计算
的值。单击“四边形BCC’B’”操作按钮，显示四边形BCC’B’和点C’、B’。选中四边形BCC’B’和
,
单击【绘图】→【在五边形上绘制点】，得到与点P重合的点，保持绘制点的选中状态，单击【编辑】→
【操作类按钮】→【隐藏/显示】，得到“隐藏绘制的点”按钮方框，点击可以隐藏或显示绘制点。隐藏
绘制的点，选中点P，单击【编辑】→【操作类按钮】→【隐藏/显示】，得到“隐藏点P”按钮方框，点击
可以隐藏或显示点P。
（3）隐藏点P，显示绘制点，将绘制点标签改为4，选中点4和点P’，单击【变换】→【自定义颜色变换】，
得到“创建自定义变换”对话框，“自定义变换名称”自定义为“P’ →4变换”，点击【确定】。
（4）构造线段1P’（这里是构造点P’的运动路径），保持线段1P’的选中状态，单击【变换】→【P’ →4变
换】，结果显示为点P运动的路径（线段或折线），保持点P运动路径的选中状态，单击【变换】→【颜色
变换1】，得到坐标系中带颜色的动态轨迹，如图20所示。显示点P，隐藏点4。拖动点P，可以看到动态轨
迹的变化。
（5）选中坐标系中的点，标签记为字母M，单击【度量】→【横坐标】，得到此点的横坐标度量值
，
同样再度量该点的纵坐标
（6）单击【绘图】→【绘制点】，出现“绘制点”对话框，选默认的“直角坐标”，单击横坐标度量值，对话
框中横坐标显示为“xM” ,再将纵坐标改为0，如图21所示，单击绘制，得到坐标系中横轴上的点。同样绘制
纵轴上的点。选中点M和横轴上的绘制点，单击【构造】→【线段】，得到与横轴垂直的线段。同样方法绘
制与纵轴垂直的线段。将这两个线段的“线型”改为“细线”、“虚线”。坐标轴上两个绘制点的“点型”
改为“最小”。同时选中这两个线段，利用前面方法依据颜色参数“yanse=……”将它们的颜色改为变化的
颜色。
（7）单击【文字工具】，在绘图区拖出如图22所示文本框，用空格键将光标移动到文本框中间的位置，输入
小括号“（ ）”，然后将光标放入括号内，再分别单击点M的横坐标度量值和纵坐标度量值（这里的方法
属于热文本的制作），两值间输入逗号，结果如图所示，其中横纵坐标的值随点M的改变而改变。
（8）选中图22中的文本框和点M，同时按住shift键，单击【编辑】→【合并文本到点】，则点M后面出现坐标
度量值，它随点M的移动而变化，如图23所示。
13．题目答案制作：
（1）双击点A，标记为缩放中心，单击点B，单击【变换】→【缩放】，出现缩放对话框后，缩放参数设为固定
比是2/5，单击【缩放】，得到x=2时点P移动的目标点。依次选中点A和这个目标点，单击【编辑】→【操
作类按钮】→【移动】，出现【操作类按钮 移动】对话框，移动速度选默认的“中速”,标签改为x=2，
单击【确定】，得到“x=2”操作按钮，单击按钮可以看到点P向目标点的移动变化。用同样的方法，作
x=9/2，x=7，x=20/9，x=61/9，x=101/9时的操作按钮，速度均为“中速”，标签依次为“x=9/2”，
“x=7”，“PQ∥AC”,“PQ∥BD(1)”,“PQ∥BD(2)”。构造线段AC、BD，将“线型”改为“细线”、“虚
线”，最后，将点P移动的六个目标点隐藏。
（2）单击【文字工具】，在绘图区拖出文本框，在其中输入如图24所示文字内容，并修饰文字颜色。
14．对绘图区进行美化。
（1）依次选中点P和点A，单击【编辑】→【操作类按钮】→【移动】，出现【操作类按钮 移动】对话框，移
动速度改为“高速”，标签改为“复位”，单击【确定】。
（2）选中题目，制作【隐藏与显示】按钮，标签改为“题目”。
（3）选中图24的文本框，制作【隐藏与显示】按钮，标签改为“答案”。
（4）单击【文字工具】，在绘图区拖出文本框，在其中输入如图25所示内容，将符号“◇”修饰颜色。
(5)将文本框中的文字“显示轨迹”在输入状态下，用竖光标选中，如图26所示，再单击“显示轨迹”操作类
按钮，文本框中的结果如图27所示，单击文字可以看到动态轨迹的隐藏或显示，这里文本框中的文字已经
具有原来“隐藏显示”按钮的功能了。同样将文本框中的其他文字设置成具有操作类按钮功能，并将文字颜
色修饰成自己喜欢的颜色，如图28所示。
（6）调整题目和答案的位置后进行隐藏，绘图区只保留图29所示内容，其他内容利用【显示】→【隐藏对象】
隐藏，至此动画绘制完成。
说明：
1．图23文本合并到点的结果，还可以用下列方式制作：
（1）选中点M，单击【度量】→【坐标】，得到点M的度量值，如图30所示。
（2）选中点M，单击【变换】→【平移】，出现“平移”对话框，“平移变换”
选默认的“极坐标”，“固定距离”值改为1.5，“固定角度”值改为“20”,
单击【平移】，得到点M的平移点。
（3）选中点M的坐标度量值和平移点，同时按住shift，单击【编辑】→【文本合并到点】，结果如图31所示。
（4）选中点M的平移点，单击【显示】→【隐藏点】，将该点隐藏，调整字母M到合适的位置，结果如图32所示,
点M后面的坐标度量值，它也随点M的移动而变化。
2．图23中两个垂线段的绘制，也可以用下列方法绘制：
过点M分别构造两个坐标轴的垂线，再构造交点，隐藏垂线，然后构造图23所示的两个线段，再将线型改为
“细线、虚线”。
