第1371期
先导知识：选修1-1 选修2-1（旧） 选择性必修1（新）
涉及方法：
①椭圆离心率的定义
②圆锥曲线的光学性质
③已知切点的椭圆切线方程
④中心对称圆锥曲线的性质
难度系数：★★★☆
今天的这个问题是一个同学留言问到的题目，该题目是一个椭圆离心率求解的问题，这个问题当中给出的点、直线实际上都可以利用椭圆中的a、b、c表示，之后再利用它们的关系构造方程求解离心率即可，逻辑虽然如此，但是运算量很大。对于这个问题我实际上也找不到避开这些运算量的方法，只能通过一些经典二级结论来简化一部分运算。首先，题目给出了一个顶角为90度的焦点三角形，同时还给出了其角平分线。由于题目中的一个关键条件围绕着这个角平分线，所以它的方程至关重要。我们可以结合圆锥曲线光学性质，发现角平分线与A点处的切线相互垂直，那么我们利用切线方程的公式计算出角平分线的斜率，进而表示出角平分线AB。接下来，我们要围绕着它去列方程，可能比较直接的想法有计算和椭圆焦点以及和y轴交点来表示三等分点或三等分点在椭圆上，这样构造方程运算量很大。这里其实可以考虑找AD线段另一个三等分点M，即弦中点，因为弦中点与原点连线斜率与弦斜率之积为定值，这样的话就可以得到点A的坐标与a、b、c的一个关系了。接下来考虑消去A的坐标。这里A点即在椭圆上又在以O为圆心c为半径的圆上，由于方程中是坐标的平方比，所以利用点A所在的两个曲线方程计算坐标平方比带入就可以得到只有a、b、c的方程。剩下的工作就是把它进行化简了，由于这个方程c只出现了一次，为了简便可以用a、b表示c，从而计算a和b的比例进而计算e。这里强调，题目中e给出了限定，其实在计算过程中出现过很多次分母，正因为这个限定才让分母不为0，使得整个运算有意义。这里我其实还尝试了其他方法，比如以两个焦半径作为坐标轴建系，也是可以计算出相应结果的，不过运算量也不是很小，而且很多同学不适应这种坐标系旋转的方法，所以视频采用了上述相对常规的逻辑，不过通过很多结论的加成简化了运算，如果大家有其他更好的方法希望大家留言给我，共同学习！
做法详解：
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