高数问答54 泰勒公式余项的性质

问题  设函数在区间内有阶导数，并且,则对于任意的，有

其中余项

中值介于与之间，问下列两个等式是否成立？

(1) 当固定时，有;

(2) 当固定时，有

答  (1)等式不一定成立。

因为当确定后，与有关，而又与有关，当时，不一定趋于0.

例如，函数在区间内有任意阶导数，且

取, 则

即当时，不趋于0.

备注：在我们之后学习过幂级数（初等函数的幂级数展开）的收敛域之后，将能更深刻地理解这个问题，本题中位于幂级数的收敛域之外。而关于当时余项趋于0的问题，我们也会在学习幂级数的时候详细讨论。

(2)式成立。只需注意到极限，代入的表达式，直接求极限就会得到

顺便指出，余项当时不仅是一个无穷小量，应用洛必达法则及导数的定义，如果在点存在阶导数（不需要在邻域内存在n解导数），那么还是一个比高阶的无穷小量，并且我们把

称为皮亚诺型的余项。

带有皮亚诺型余项的泰勒公式，经常能帮助我们计算一些复杂的极限，在同济七版泰勒公式章节有多道例题与此有关，建议大家好好看看练一练。