与多元函数微分学一样，在多元函数积分学中，我们把定积分的思想和方法应用到二元函数上，以二重积分为例来讨论多元函数积分的概念。
一元函数积分学解决了曲边梯形面积计算的问题，其解决思路是：
类似地，二重积分的概念也是从实际问题中抽象出来的：设有一立体，在空间直角坐标系上，以xoy面上的有界闭区域为底，以曲面为顶（曲顶柱体），假设，如何计算该曲顶柱体的体积？
平面柱体的体积=底面积 x 高, 对于曲面柱体，当点在上变动时，高度在变化，所以无法直接用底面积 x 高计算其体积，但可以借助计算曲边梯形面积的思想来计算：
定义1：设函数是有界闭区域上的有界函数，将闭区域任意分成个小区域
其中表示第个小区域，也表示它的面积，在每个小区域上任取一点，作乘积
并作和式如果当各小区域的直径中的最大值时，上述和式的极限存在，则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记作，即其中称为被积函数，称为被积表达式，称为面积元素，与为积分变量，称为积分区域。
注1：二重积分的几何意义
例1：用二重积分表示半径为的半球的体积
解：球面方程为，由二重积分的几何意义可知，半球的体积是以为底，以上半球面为顶的曲顶柱体的体积，即
例2：利用二重积分的几何意义，计算
其中为轴、轴和直线围成的三角形区域。
解：由二重积分的几何意义，等于如下图所示的以OAB为底、平面为顶的四面体的体积：
所以
在讨论二重积分的性质时，我们总是假设积分区域是平面上的一个有界闭区域。
性质1：对任意常数，，有
性质2：若区域分成两个闭区域与，有
该性质称为二重积分的区域可加性。
性质3：设，则
性质4：如果，为区域的面积，则
性质5：如果，则
性质6：设分别是在区域上的最大值与最小值，则
其中表示区域的面积。
性质7：如果在上连续，为的面积，则在上至少存在一点，使得
该性质称为二重积分的中值定理，几何意义在于：以区域为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积等于以区域为底，以内某一点处的函数值为高的平顶柱体的体积。
数值
表示曲面在有界闭区域上的平均值。
例3：计算二重积分，其中.
解：积分区域为一个圆环形闭区域，面积，被积函数，因此
例4：比较二重积分与的大小，其中积分区域为
解：因为，，则，且
因此
例5：估计二重积分的值，其中积分区域
解：由于，区域的面积，且在上的最大值和最小值分别为
所以
例6：设积分区域是以原点为中心、半径为的圆域，求证
证：根据二重积分的中值定理可知，在上至少存在一点，使得
于是
可以看到，直接利用定义来计算二重积分是很困难的，通常计算二重积分的方法是把二重积分化为两次定积分来计算。
在二重积分中，面积元素常记作，这是因为当使用平行于坐标轴的直线网对区域进行划分时，除了一些边界的小区域，其余小区域都是一些小矩形：
记小矩形的边长为和，则小区域的面积，因此才会将直角坐标系中的面积元素记作，二重积分写为
其中函数，在上连续。
假设，根据二重积分的几何意义，表示以为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积。
使用平面（）切开曲顶柱体，其横截面是一个以为底边，以曲线为曲边的曲边梯形：
曲边梯形的面积为
可扩展为的截面面积函数：
于是曲顶柱体的体积为
即
这是一个先对积分，再对积分的二次积分。对积分时，把看作常数，然后把所得结果再对计算一次上的定积分。这个二次积分也常记作
其中函数，在区间上连续。
类似地，用平行于的平面去切曲顶柱体，则可得截面面积
对应的截面面积函数
曲顶柱体的体积为：
注1：如果积分区域不能表示成上述两类，可把分割为几个小区域，使每个小区域都是两种形式中的一种，再根据二重积分的区域可加性来计算。
例7：计算，其中区域是由，，，所围成的矩形。
解：
于是
于是
例8：计算，其中是由直线，，围成的。
解：先对，后对积分，积分区域为
于是
如果改变积分次序，先对积分，后对积分，则
计算会非常复杂（选择合理的积分次序很关键）。
例9：交换下列二次积分的积分次序
解：根据积分形式可知，积分区域为
绘制该积分区域
可将积分区域重新记作：
于是
解：根据积分形式可知，积分区域分别为
绘制积分区域
可将积分区域重新记作：
于是
例10：证明
证：根据二次积分上下限可知积分区域为
交换此积分的积分次序，把积分区域重写为
于是
在二重积分中，会有一些问题很难用直角坐标系来解决，比如
尽管可以通过直角坐标系将该二重积分表示为
但这个积分依然很难计算。有时候，可以借助极坐标系来计算。
在极坐标系中，对区域进行如下分割：
分割后的小区域为小扇形，其面积为
因此，在极坐标系下的面积元素为。
极坐标与直角坐标系下的转换关系为
因此，可得极坐标系下的二重积分公式
例11：计算，其中.
解：极坐标下积分区域，于是
例12：计算，其中为环形闭区域.
解：在极坐标系下，该积分区域可表示为
因此，
例13：计算，其中.
解：积分区域如图所示 边界曲线的极坐标方程为
因此，在极坐标系下可表示为
则
一元函数定积分可以用以计算平面图形的面积，二重积分也可以。
当被积函数时，有
其中为积分区域的面积。
例14：求曲线与所围成的平面图形的面积。
解：所求平面图形在直角坐标系中如图所示
利用一元函数定积分可得
可令，则，当时，；当时，；因此，
考虑使用二重积分，区域的边界为：
积分区域可描述为
因此
设曲面由方程
给出，为曲面在平面上的投影区域，函数在上具有连续偏导数和，那么曲面的面积可由如下公式计算：
或
假设用平行于轴和轴的两组平行直线分割投影区域，取的一块记作（面积也记作），则所对应的那块曲面，可以近似地使用的某点处的切平面来表示
即
其中表示切平面与平面的夹角，也即切平面法向量与轴单位向量 的夹角,于是
从而
因此
例15: 求球面的表面积.
解：上半球面方程为
在平面上的投影区域为：
同时，
于是
球面面积为
根据二重积分的几何意义可知，的绝对值表示以为曲顶，以区域为底的曲顶柱体的体积，所以空间立体的体积可以通过二重积分
来计算。
例16：求半径为的球的体积。
解：上半球面方程为
底部为圆域
于是
例17：求由锥面和半球面所围成的立体的体积。
解：球面与锥面所围的立体在平面上的投影为有界闭区域
于是
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