高数问答63 一个分段函数的原函数

今天我们一起学习一个最简单的分段函数的原函数。

问题  有同学说，连续函数是函数

的原函数。理由是：当时有, 故; 而当时，, 故,这个说法正确吗？

答  这个说法不对。

首先再次提醒大家，根据导函数的介值性（我们在之前多次提到导函数的这个性质），我们知道在某区间上可导的函数的导函数没有第一类间断点，事实上本题中被积函数在为跳跃间断点，所以它在一定不存在原函数。这个性质经常帮助我们判断一些函数的原函数（不定积分）的存在性。

在细节上具体分析本题，则其主要问题在于当时，这个结论并不正确。实际上在这一点处绝对值函数不可导，所以不是的原函数，其实在上一问题中我们已经提醒大家理解原函数的概念必须结合其所在的区间。

在本问题中，如果除去这一点外，我们得到了两个区间和, 于是可以说是分别在上述两个区间内的原函数，但这和本问题的说法并不完全一致。

之后我们还会多次遇到分段函数的原函数的问题。