探究题-隐形圆、相似△、△通用面积公式、二次函数最值

【分析】

（1）∠BAD=∠BCD=90°，所以ABCD四点共圆（四边形对角互补）

易知∠BDC=∠BAC（同弦所对圆周角相等）

（2）①

∠BAD=∠BCD=90°，所以ABCD四点共圆。（四边形对角互补）

连接BD，∠ACD=∠ABD，（同弦所对圆周角相等）

在Rt△ABD和Rt△ECD中，∠ACD=∠ABD，

所以Rt△ABD∽Rt△ECD

（2）②

过点B做BF⊥AN，垂足为F

∠BAC=90°-∠MAN=30°，

所以BF=AB*sin∠BAC = 20√3

在△BEC中，CE=60是定值，BF=20√3也是定值，故△BEC的面积就是定值。

令EF=x ，则CF=60-x

根据三角形通用面积公式 S△BEC= BF*CE/2 = BE*BC*sin∠EBC/2

可求出sinEBC关于x的二次函数，再求最值就很容易了。

【求解】

（2）①

根据分析，Rt△ABD∽Rt△ECD

故DE/AD=CE/AB      ①

在Rt△ADE中，∠MAN=60°，所以DE/AD=sin60°=√3/2

代入①式，可得CE/AB=√3/2

所以CE=AB*√3/2 = 60

（2）②

根据分析，直接写：

令EF=x ，则CF=60-x

根据三角形通用面积公式 S△BEC= BF*CE/2 = BE*BC*sin∠EBC/2

可得 20√3 * 60 /2 = √(EF²+BF²) * √(CF²+BF²) *sin∠EBC/2

其中根据勾股定理 BE=√(EF²+BF²)，BC=√(CF²+BF²)

整理后可得到:

sin∠EBC = 1200√3 /√[(20√3)² + x²]*[(60-x)²+(20√3)²] 

= 1200√3 /√[(60-x)²+1200]*[x²+1200]

令30-x=t  

=1200√3 /√[(t²+300)² + 4320000]   ③

显然当t=0，即x=30时，③式的分母可取最小值，

也即sin∠EBC 可取最大值= 4√3/7

【小结】

四边形对角互补，是四边形四点共圆的判定定理之一。

三角形通用面积公式，虽略微有些超纲，但如果掌握他，很多问题就非常容易求解。S△=(a*b*sinα)/2  ，一句话概括就是：三角形面积等于两夹边之积乘夹角的正弦值再除以2

复杂代数式求值，变形、化简，这是初中阶段很重要的基础功底。必须熟练，才能为高中数学、物理的进一步学习打好基础。