探究题-最值与轨迹，旋转、手拉手、隐形圆，关键在于判定轨迹的边界点，难度较大。

【分析】

（1）旋转角α=0，显然AD⊥BE，

∠A=30°，所以tan∠A=BC/AC=√3=2AD/2BE

所以AD=√3*BE

（2）

Rt△CDE与Rt△CAB相似，共顶点C，显然是手拉手模型的拓展，

可知 △BCE和△ACD相似，简证：

∠BCE+∠ACE=90°，∠DCA+∠ACE=90°，所以∠BCE=∠DCA

而BC/CE=AC/CD=2:1

所以△BCE∽△ACD（对应夹角相等，夹角两边对应成比例）

这是这一问的题眼所在

（3）

AD始终垂直于BE，故∠APB=90°，点P的轨迹是以AB为直径、AB中点O为半径的圆，注意只是圆O的一部分。

因△CDE绕点C旋转，故点E的轨迹是以CE为半径、点C为圆心的圆，CE=BC/2=1/2

当BE''与点圆C相切于点E''时，即BE''⊥CE''时，点P''的位置与点B重合，到达边界点；

当BE'与点圆C相切于点E'时，即BE'⊥CE'时，点P'到达圆弧BCP'的临界点；

点E绕点C旋转一周，点P在劣弧BCP'上来回两次。

【求解】

（1）同分析

（2）根据分析可知 △BCE∽△ACD

所以∠CBE=∠CAD，AD/BE=AC/BC=√3

又∠BMC=∠PMA（对顶角相等）

所以△BCM∽△APM，所以∠APB=90°，故AD⊥BE

故数量关系：AC/BC=√3 和位置关系：AD⊥BE，结论恒成立。

（3）

根据分析，点P'是点P轨迹的边界点，过点P'做P'M⊥BC的延长线，垂足为M。根据分析，此时BE'是圆C的切线，故BE'⊥CE'。

在Rt△BCE'中，BC=1，CE'=1/2， BE'=√3/2， ∠CBE'=30°

延长CE'必交AB于点O

反证：假设不交于点O，假设交于点O'，∠BCE'=90°-∠CBE'=30°，而∠A=30°（已知条件），所以∠CO'B=60°，而∠COB=60°（△COB是等腰三角形），这与假设矛盾，所以CE'的延长线必定交AB于点O

故B'P=2*BE'=√3 （垂径定理）

在Rt△P'MB中，P'M=P'B*sin∠CBE'=√3/2

点P到直线BC的最大距离P'M=√3/2

劣弧BCP'所对应的圆心角=2*∠COB=120°

所以劣弧BCP'的弧长=120*2π/360=2π/3

点P运动轨迹的长度=2*劣弧BCP'的弧长 =4π/3

【小结】

题目通过特殊情况到一般情况，逐步形成相似两条线段的数量和位置关系的结论。其实就是相似三角形共顶点构成手拉手模型。

根据位置关系，可以找出隐形圆。通过小三角形的旋转找出边界，确定点P的轨迹范围，是本题的关键所在。