丰富而有趣的公式（有关内切圆半径和旁切圆半径）

今天介绍一些与三角形内切圆半径r，旁切圆半径r₁、r₂、r₃相关的一些有趣公式。其中涉外接圆半径R、三角形面积Δ、半周长s。

公式一：

证明：用到下面几个公式：

推导如下：

这个公式是知道内切圆半径和三个旁切圆半径时可求出三角形面积。

公式二：

证明：用到下面的公式（及下标轮换后的公式）：

推导如下：

这个公式是说，在内切圆半径和三个旁切圆半径共四个量中，知三求一。

公式三：

证明：用到最基本的三角形面积公式：

推导如下：

这个公式是说，不仅在三个旁切圆半径已知的情况下可以求得内切圆半径，在三个高线长度已知的情况下，也可以求得内切圆半径。

公式四：

用到公式二和公式三及下面这几个基本公式：

推导如下：

这个公式是说，在只知道两个旁切圆半径的情况下，可以求得与另一旁切圆相切的边之上的高线的长度。也可以在知道三个高线长度的情况下，直接求出任一旁切圆的半径。

公式五：

用到下面的公式：

推导如下：

这个公式是说，在知道三个旁切圆半径的情况下，再知道R与r中的一个，就可以求出另一个。或者五个量中，知四求一。

公式六：

让下面两个公式相等，即可推出上面公式。

这个公式是在已知三边长度（s是三边长度和的一半）时，再知道R和r中一个，就可以求出另一个。

公式七：

证明用到以前讲过的内切圆半径r、外接圆半径R、两圆心距离d三者之间的关系：

上式左侧利用平方差公式就是(R+d)(R-d)，这正是内切圆圆心I关于外接圆的幂（观察上图红线）。对上式右侧2Rr进行变形，并应用下面的公式：

得到

这个公式是在已知三边长度时，再知道R和r中一个，就可以求出另一个。