今天介绍一些与三角形内切圆半径r,旁切圆半径r₁、r₂、r₃相关的一些有趣公式。其中涉外接圆半径R、三角形面积Δ、半周长s。
推导如下:
这个公式是知道内切圆半径和三个旁切圆半径时可求出三角形面积。
推导如下:
这个公式是说,在内切圆半径和三个旁切圆半径共四个量中,知三求一。
证明:用到最基本的三角形面积公式:
这个公式是说,不仅在三个旁切圆半径已知的情况下可以求得内切圆半径,在三个高线长度已知的情况下,也可以求得内切圆半径。
这个公式是说,在只知道两个旁切圆半径的情况下,可以求得与另一旁切圆相切的边之上的高线的长度。也可以在知道三个高线长度的情况下,直接求出任一旁切圆的半径。
这个公式是说,在知道三个旁切圆半径的情况下,再知道R与r中的一个,就可以求出另一个。或者五个量中,知四求一。这个公式是在已知三边长度(s是三边长度和的一半)时,再知道R和r中一个,就可以求出另一个。
证明用到以前讲过的内切圆半径r、外接圆半径R、两圆心距离d三者之间的关系:上式左侧利用平方差公式就是(R+d)(R-d),这正是内切圆圆心I关于外接圆的幂(观察上图红线)。对上式右侧2Rr进行变形,并应用下面的公式:这个公式是在已知三边长度时,再知道R和r中一个,就可以求出另一个。
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