几何模型 || 双外角平分线模型

— 双外角平分线模型 —

如图，已知△ABC，PB平分△ABC的外角∠CBD，PC平分△ABC的外角∠BCE.求证：∠BPC＝90°- $\frac{1}{2}$ ∠A.

[证明]

∠CBD+∠BCE=180°＋∠A.

∵PB平分外角∠CBD，PC平分外角∠BCE.

∴∠PBC+∠PCB= $\frac{1}{2}$ ∠CBD+ $\frac{1}{2}$ ∠BCE

= $\frac{1}{2}$ (180°＋∠A)

=90°＋ $\frac{1}{2}$ ∠A.

∴在△PBC中，

∠BPC＝180°-(∠PBC+∠PCB)

=180°-(90°＋ $\frac{1}{2}$ ∠A)

=90°- $\frac{1}{2}$ ∠A.

— 模型应用 —

[题目]

如图，△ABC中，∠A=100°，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，BM、CM分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线，则∠BIC-∠M=( )

A.80° B.100° C.120° D.130°

[解析]

∠BIC=90°＋ $\frac{1}{2}$ ∠A.

由双外角平分线模型得：

∠M=90°- $\frac{1}{2}$ ∠A.

所以，∠BIC-∠M=(90°＋ $\frac{1}{2}$ ∠A)-(90°- $\frac{1}{2}$ ∠A)

=∠A

=100°

[答案] B

[点评]

理解模型的推导，熟记模型结论，有利于快速解决与内外角平分线有关的角度问题.

— END —

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