一道高考数学题的解法

俗话说教学相长，有时候学生的思路会给老师一些启发！

今天上课的内容是比较大小，发现一道高考题特别有趣，同学们提出了很多想法，现在分享给大家：

一、原题

（2020全国Ⅲ）

已知 $5^5<8^4,13^4<8^5$ ,设 $a=\log_53,b=\log_85,c=\log_{13}8,$ 比较 $a,b,c$ 的大小。

二、解法

比较 $b,c$ 的大小，需要结合已知条件来做。

$5^5<8^4=>5\log_85<4=>b<\frac45$ ,同理

$13^4<8^5=>4<5\log_{13}8=>c>\frac45$ ,故 $c>b$ .

接下来比较 $a,b$ 的大小，在这里，同学们有很多想法，我们一起来看看：

1、参考答案

做差 $a-b=\log_53-\log_85=\log_53-\frac{1}{\log_58}=\frac{\log_53* \log_58-1}{\log_58}$

而 $\frac{\log_53* \log_58-1}{\log_58}<\frac{(\frac{\log_53+\log_58}{2})^2-1}{\log_58}<0$

所以 $a<b$ ，所以 $a<b<c$ .

2、同学甲：找中间量

$3^4<5^3=>3<5^\frac34=>\log_53<\frac34=>a<\frac34$ ,同理

$5^4>8^3=>5>8^\frac34=>\log_85>\frac34=>b>\frac34$ ,所以 $b>a$ .

3、同学乙：糖水不等式

所以 $b >a$ .

4、同学丙：分析法

由于 $a,b$ 差距很小且为正，所以我们对于这两个数同时乘以某个正整数 $n$ ,使得差距明显，进而可以比较大小。我们发现：

$4a=\log_581\in(2,3),4b=\log_8625\in(3,4)$ ，易知 $a<b$ .

三、小结

通过讨论发现，并非参考答案就是最优方法，我们要敢于把课堂交给学生，也许他们可以给出更精彩的答案，提供给我们不一样的角度，从而深受启发。其实，学无定法，教无定法，通过师生的交流能总结出一些好的方法。

你有什么好的方法，欢迎在评论区留言，我们一起探讨！

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