再谈《多边形的内角和》

去年的7月31日，我在公众号发表的《关于“多边形的内角和”教学设计的思考》所阐述的观点是：由于多边形是“形”，而内角和是“数”，“形”与“数”不能直接演绎，因此就需要将内角和这个具有代数特征的研究对象几何直观化.就像在《三角形内角和定理》的研究中选择直线或两直线平行被第三条直线所截得到的同旁内角作为180°的几何直观化身那样，在多边形内角和的研究中，选择三角形这个最简单的封闭图形作为内角和的几何直观化身也就顺理成章了.

将内角和几何直观化的意义在于确定几何问题的研究对象.在将内角和几何直观化之前，两个研究对象不是同一个属性，一个是几何的图形，一个是代数的数值，类似于没有统一单位下的两个数是无法运算一样，形与数是无法直接演绎的. 研究几何问题的思维规律是 “形-形-数“，其中第一个”形“就是研究对象.这个研究对象要么是一个，要么是两个或更多，但无论如何都必须是几何的研究对象，而不能是没有几何特征的“数”.

例如：在《圆》那一章的有关弧长公式的教学中，研究对象仅仅是弧吗？实际上，弧不是作为一个孤立的几何图形去研究的，通过弧这个几何图形在其所在的圆上的运动变化，学生们可以直观感受到弧所对应的几何图形是圆心角.因此，这节课要研究的是弧与其所对的圆心角之间的位置关系，也就是“形-形-数”中的第二个“形”. 在此基础上，利用弧所对的圆心角对弧这个图形进行度量.

这学期我有机会和一线教师们再一次研究《多边形的内角和》这节课，在与教师们的研讨、交流的过程中，我受到很多的启发，对《多边形的内角和》的教学设计与实施又有了新的思考和感悟，下面我以回答问题的方式与大家分享我的思考：

问题1：当把三角形作为多边形内角和的研究对象之后，如何来研究呢？

由于已经明确了多边形内角和问题是两个研究对象，因此，研究三角形与多边形之间的位置关系也就成为必然.但是，是否真的研究了它们之间的位置关系？如何研究它们之间的位置关系？对这2个问题的回答决定着这节课几何思维的深度，也是本节课教学重点是否明确的一个重要标志.

教学中，教师通常会引导学生把一个多边形分为若干个三角形，因为每个三角形的内角和为180°，进而得到多边形的内角和.如：连接四边形ABCD的对角线AC，将四边形ABCD分为2个三角形，因为每一个三角形的内角和为180°，所以四边形ABCD的内角和为360°.同样，五边形、六边形的内角和的研究也都是通过将它们划分为3个、4个三角形得到其内角和的.但问题是：将一个多边形分为了若干个三角形是我们所理解的对几何图形之间位置关系的研究吗？ 

如果按照“形-形-数”的规律来理解上述教学，第一个“形”是这个多边形；第二个“形”是将多边形划分为若干个三角形，当然，划分三角形的方法有很多；之后由划分后的若干个三角形的内角和180°相加得到多边形的内角和，也就是“数”.可以看出，这样的研究更像是操作，几何思维活动开展的不够充分是显而易见的.即使不是过多边形的某一个顶点引若干条对角线，而是选择多边形边上的某个点或多边形内（外）的一点与多边形的顶点相连接，将这个多边形分为若干个三角形，也只是在操作层面上增加了一定的难度，而几何图形之间位置关系的研究过程在这种操作下被忽视了.这样的教学几何直观感受比较充分，但几何抽象的思维活动几乎没有.而我们应该知道：从“形”到“形”不只是几何直观感受，更重要的是几何抽象的思维活动，是从几何直观到几何抽象，在这个过程中最有价值的正是对几何图形之间位置关系的演绎.

在《多边形的内角和》教学中，为了实现三角形与多边形之间的位置关系的研究，三角形与多边形的地位应该是一样的、平等的.也就是说,这个三角形不是通过在这个多边形内连接线段之后划分得到的，而应该是独立于这个多边形之外的几何图形.

因此，当教师提出如何研究△ABC与四边形ABCD之间位置关系的时候，学生们看到的应该是两个几何图形：一个是△ABC，一个是四边形ABCD，如上图所示.为了便于研究，这两个几何图形不能是相离的.因此就需要将△ABC以某种方式移到四边形ABCD上.这样，连接对角线AC就是这种思维活动指导下的操作了.

要注意的是：连接对角线AC的目的不是为了直观感受所划分的△ABC和△ADC,而是确定除了四边形ABCD之外的研究对象△ABC.教学中，教师可以先给学生做一个研究两个几何图形之间位置关系的示范，再让学生表达分析的思维过程，也就是：这个三角形的三条边中的两条就是四边形ABCD的边，△ABC的三个顶点就是四边形ABCD其中的三个顶点，△ABC的三个内角是四边形ABCD的四个内角中的一部分;同样，△ADC与四边形ABCD的位置关系的分析也如上所述，从边、顶点到内角展开.这样，△ABC和△ADC共6个内角正好构成了四边形ABCD的四个内角.至此完成了三角形与四边形ABCD位置关系的研究.在此基础上，就是对“形”的数量化了，即：这两个三角形的6个内角的和,也就是2×180°正是四边形ABCD的内角和了.

问题2：如何得到n边形的内角和呢？《多边形的内角和》作为一节几何课，几何思维在教学中占有主导地位是毋庸置疑的.但是在具体的教学实施过程中，教师所设计的教学活动是不是能够始终坚持几何思维呢？

如前所述，通过研究三角形与四边形、五边形、六边形的位置关系，得到了四边形的内角和是2×180°，五边形的内角和是3×180°，六边形的内角和是4×180°.在得到这些数值之后，教师引导学生思考：通过以上结果你能够发现n边形的内角和与边数n的关系吗？这样引导的目的就是教师希望学生能够从几个具体的多边形的内角和与边数的关系，归纳得出n边形的内角和等于(n-2)×180°.

可以说，上述教学设计偏离了几何思维这条主线，不经意间进入到归纳的思维活动中.尽管归纳思维在数学学习中很重要，但是，由于本节课是几何课，几何思维更重要.因此，即使到了n边形也要沿用之前的研究方法，仍然是通过研究三角形与n边形的位置关系之后得到n边形的内角和，而不是像前面那样通过四边形、五边形、六边形的内角和去归纳得出n边形的内角和.

具体分析过程如下：设点P为n边形内的一点，连接点P与n边形的n个顶点，得到n个三角形.这n个三角形中的每一条边构成了这个n边形的n条边，n个三角形中都有2个内角(共2n个角)正好构成了n边形的所有内角，n个三角形中的另外一个内角(共n个角)有共同的顶点P，并形成一个周角.在研究完n个三角形与n边形位置关系的基础上，再进入到n边形的内角和的计算，也就是n边形的内角和为这n个三角形的内角和相加，再减去与n边形内角和无关的那个周角，即：

n×180°-360°= n×180°-2×180°=(n-2)×180°.从而得到了n边形的内角和公式.

我们常说：评价一节课的质量高低与这节课的教学目标是否实现、教学的重点是否落实息息相关.但是，这个教学目标是如何确定的呢？什么才是教学的重点？这些却是主观的，是与教师个人的业务功底有着紧密联系的. 因此，教师对所教授的知识有个人独到的见解,在独立思考、深入研究的基础上能够提出自己的学术观点是做教学研究所必须具备的条件.做一名课堂教学的研究者，就是要能够做到在尊重教材的基础上不盲从教材，不迷信权威，敢于突破束缚自己的一些做法或观念，去体会教学创新的乐趣，让我们所坚守的数学教育能够不断地接近数学学科的本质.