泛函分析讲义上册学习笔记（一）

知识简要介绍：

度量空间又称距离空间，它是一种拓扑空间，其上的拓扑由指定的一个距离决定.

定义1 设 $X$ 是一个非空集,若存在 $X$ 上一个双变量的实值函数 $\rho(x,y)$ ,满足下列三个条件:

(1)正定性: $\rho(x,y)\geq0$ ,而且 $\rho(x,y)=0$ 当且仅当 $x=y$ ;

(2)对称性: $\rho(x,y)=\rho(y,x)$ ;

(3)三角不等式: $\rho(x,z)\leq\rho(x,y)+\rho(y,z)$ ，

则称 $\rho$ 为 $X$ 上一个距离， $X$ 称为距离空间. 一个以 $\rho$ 为距离的距离空间 $X$ 记做 $(X,\rho)$ .

类似于欧氏空间情形，可以在距离空间中引进一系列重要概念. 首先是拓扑概念，将 $X$ 中满足不等式 $\rho(x,a)<r$ 的点 $x$ 的全体称为以 $a$ 为中心、 $r$ 为半径的球邻域. 进一步欧氏空间 $\mathbb{R}^n$ 中余集、开集、闭集、聚点以及稠密性等一系列概念都可以搬到距离空间中来. 于是，开集的余集是闭集;闭集的余集是开集;空集 $\emptyset$ 与全空间 $X$ 是既开又闭的集合;有限个闭集的并集仍是闭集;任意多个开集的并集仍是开集等性质在抽象距离空间中仍成立.

定义2 距离空间 $(X,\rho)$ 中的点列 $\{x_n\}$ 称为收敛列, 是指存在 $X$ 中的点 $x$ ，当 $n\rightarrow\infty$ 时， $\rho(x_n,x)\rightarrow 0$ . 此时称 $x$ 是点列 $\{x_n\}$ 的极限，记做 $x_n\rightarrow x(n\rightarrow\infty)$ ,也记做 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}x_n=x$ .

引进距离的目的是刻画“收敛”

具体见下面学习笔记：

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