高数习题42 画辅助线求面积

上一篇文章中，我们通过辅助角巧妙地求出了函数的阶导数。

本文我们则通过画辅助线的方式计算一个平面图形的面积。

例42  设函数与直线及所围成的面积为, 求的最大值和最小值。

解题思路

一般传统解法是：先由定积分求出

然后，由微分学中求驻点的方法，进一步求出函数的最大值和最小值，建议大家用这种方法练习一下，过程也不复杂。

下面利用辅助线的方法进行求解，这种方法比较巧妙。

这里我仅仅做以描述，在解答视频中我会简单地画出示意图。

引入辅助线. 易知在区间上，两条曲线的交点为.分别记轴和与所围成部分的面积为.

由对称性可知

其中为常数，显然地在上单调减少，在单调增加。

从而得到的最小值为, 再计算它在端点处的函数值, 于是我们得到最大值为1.

本例中我们的解答巧妙地利用了辅助线, 这使得图形呈现了明显的对称性，由此化为常数与之和，而后者的增减性显而易见。