追及相遇用物理语言表述就是两物体在同一时刻处于同一位置,或者说某个时刻它们的距离为零。
因此,我们首先得到沿某直线运动的两个物体之间的“距离”公式。沿直线建立坐标系,将B的坐标与A的坐标之差定义为A到B的“距离”,则
其中,表示A到B的初始“距离”,和分别为A、B各自的位移。
之所以选择保留“距离”的符号,而不是直接取绝对值,是因为我们可以根据“距离”的正负判断谁在前谁在后。
令距离为零可得追及相遇条件
“距离”公式(1)与追及相遇条件(2)是处理追及相遇问题的两个核心公式。
上述两个公式(1),(2)中,都会出现两物位移之差;而这其实就是AB之间的相对位移。
除了直接用两个位移相减以外,我们还可以将其中一个物体视为参考系,根据另一个物体相对前者的运动求相对位移;或者画出两个物体的图,根据它们所夹的面积求相对位移;这给我们处理追及相遇问题提供了更多的灵活性。
高考中,追及相遇问题主要涉及如下四类基本问题。
第一类问题是求两个物体距离的极值,有两种方法。
找到所有共速的时刻,根据“距离”公式求各个共速时刻及全过程的初末时刻两物的“距离”(以出发时的前物仍在前为正,在后为负),从中找出距离的最大值和最小值。
将两物的关系代入“距离”公式,得到“距离”作为时刻的一元二次函数,配方求极值。
一般而言,临界法比函数法更为简单。
第二类问题是判断两物会否发生追击相遇,也有两种方法。
首先,找到所有共速的时刻,求出初始时刻、各共速时刻、末时刻两物的“距离”。
由于物体的位置不突变,故两物的“距离”也不突变。因此,若相邻两次共速,或初始时刻与第一次共速,或末时刻与最后一次共速,对应的两物“距离”一正一负,则它们之间必有某个时刻发生追及相遇。
若所有这些时刻对应的“距离”都为正,则说明任意时刻原来的前物仍在前,追及相遇不会发生。临界情形是某次共速时正好发生追及相遇。
将两物的关系代入追及相遇条件,得到时刻的一元二次方程;根据方程是否有解及解的数目判断能否追及相遇及追及相遇的次数。
对于多过程追及相遇问题,用临界法判断会否发生追及相遇比方程法更为简单。如果采用方程法,需要逐段过程进行判断。
第三类问题是求两物发生追击相遇的条件或不发生追击相遇的条件;方法与前一个问题基本一样。
区别在于此类问题两物各自的运动情况存在未知,一般是某物的初速度或加速度未知。
对于多过程追及相遇的问题,两物若会达到共速,则共速发生在哪个阶段未必是确定的,需要分情况讨论。
设两物沿同一直线运动的图像如图所示。当B的加速度取不同值时,两物体共速可能发生在A加速运动的阶段,也可能在A匀速运动的阶段。
求发生追及相遇或避免发生追及相遇的条件时,需要分两种情况讨论;或者先分析虚线所示的临界情形会否发生追及相遇,再据此进一步分析追及相遇条件。
考虑某次共速时恰好追及相遇的临界情况,据此分析发生追及相遇的条件或避免追及相遇的条件。
将两物的关系代入追及相遇条件,得到时刻的一元二次方程;发生追及相遇的条件就是方程有符合要求的解;避免追及相遇的条件就是方程在给定范围内无解。
第四类问题是求两物发生追击相遇的时刻或位置;这需要解方程。
将两物的关系代入追及相遇条件,得到时刻的一元二次方程;此方程的解就是追及相遇发生的时刻。之后,求出车的位移即可知道追及相遇发生的位置。
【例1】 A、B两车在同一直线上向右匀速运动,B车在A车前,A车的速度大小为,B车的速度大小为,如图所示。
(1) 若,当A、B两车相距时,B车因前方突发情况紧急刹车(已知刹车过程的运动可视为匀减速直线运动),加速度大小为,从此时开始计时。求:
① A车追上B车之前,两者的最大距离。(求距离极值)
解析:设B车停下的时刻为,则
解得 .
(函数法) B车停下前(),A,B各自位移作为的函数为
A,B距离作为的函数为
因此,当时,距离有最大值,最大距离为. 因,最值可达。
在B车停后(),A,B距离作为的函数为
于是,随递减,不可能取全程最大值。
(临界法)两车共速时,A,B的距离取极值。
设时刻共速,则,故.
共速前,两车位移分别为
于是,A,B的最大距离为
② A车追上B车所用的时间。(求追及时刻)
解析:(方程法)若追及发生在之前,则追及时
解得
(负根不符合题意,已舍去)。
若此根不大于,即
也即,则追及时刻即为此根。
若,则方程在内无解,不发生追及;追及发生在之后。
追击时
解得.
当然,也可以事先判断碰撞发生在哪个阶段。
考虑B车停下时正好追及的临界情形,两车初始距离应等于B停下之前,A相对B的位移
因此,若,则时,正好追击。
若,则之后追击。
若,则之前追击。
显然,若,则,必有;因而,追及必然发生在之后。
③ 从安全行驶的角度考虑,为避免两车相撞,在题设条件下,A车在B车刹车的同时也应刹车的最小加速度。(避免追及相遇的条件)
解析:(临界法)若A车比B车先停(如图中蓝线所示),则A车始终比B车慢,不会相撞。
若A车比B车后停(如图中紫线所示),则两车第一次共速时相距最远,第二次共速(两车均停下)时,它们的“距离”若仍非负,则不会相撞。
因此,不相撞的条件是两车均停下时的“距离”
即.
(2) 若,当A、B两车相距时,A车以加速度紧急刹车,并向前车鸣笛示意;经时间后(这段时间内未相撞),车开始加速。为避免相撞,B车的加速度至少为多大?(避免追及相遇的条件)
解析:(方程法)题中已经指出之前未相撞。显然,若A车停下后也不可能相撞;故,相撞只可能发生在之后,A车停下之前。
因此,两车相撞的条件是
合并同类项整理可得
若判别式
则方程无解,不相撞。
因前不相撞,故,有
因此,解不等式可得.
为方便表示,记为.
若,则当时,有.
而时刻,(题中指出时间内未相撞),故内必有方程的解,必然发生一次撞击。
综上,不相撞条件为;若,即便 仍不相撞。
(临界法)避免相撞的临界情形是共速时正好相遇。
设共速时刻为,共速时的速度为,则
解得.
若此时正好相撞,则
解得.
因此,不相撞的条件是.
【例2】 沿同一平直公路的两个不同车道运动的甲、乙两车的图如图所示;开始时甲车在乙车前方处,则:
在时,两车第一次共速,而此时两车距离
设时刻第二次共速,共速时的速度为,则
解得,.
同时,时,乙的速度为
因此,第二次共速时,两车距离为
在时第三次共速,此时两车距离
因此,出发时两车相距最远,甲在乙前方处。
两车在,,三段时间内各发生一次追及。
第一次追击的时刻满足方程
解得第一次追及发生在时。
时,有
因此,第二次追及发生在之间。第二次追击发生的时刻满足方程
解得.
时,有
因此,第三次追及发生在之间。
第三次追及的时刻满足方程
解得.
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