高数习题54 极值点和拐点的充分条件

推广是事物发展所遵循的规律之一。

综观整个“高等数学”内容的展开，就是一个不断推广的过程。大到单变量微积分推广到多变量微积分，小到导出某个具体问题的普遍形式。

在学习高等数学的过程中，如果能够带着一种强烈的推广欲望，并不断为此去思索，去实践，无疑，学习的收效将成倍增长，与此同时，能力也将获得良好的发展。

例54  设函数在的某邻域内具有三阶连续导数，如果

请问是否为极值点？为什么？又点是否为拐点？为什么？

解题思路

我们不妨直接讨论问题的一般情形：

设函数在的某邻域内具有阶连续导数，如果

请问是否为极值点？为什么？又点是否为拐点？为什么？

联系这个推广之后的问题的条件，容易想到泰勒中值定理，而在关于拐点问题的研究中，我们可以考虑对二阶导函数进行泰勒展开，之后再判断二阶导数的符号有没有发生改变。

本题主要的证明过程都在下面的解答视频里。

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