习题集之圆锥曲线：题目21——非对称韦达定理

【题源】高三数学周测试题（一）.

【题文】已知双曲线C：

（a>0，b>0）的右焦点为F，双曲线C上一点P(3,1)关于原点的对称点为Q，满足

.

(1)求C的方程;

(2)直线l与坐标轴不垂直，且不过点P及点Q，设l与C交于A，B两点，点B关于原点的对称点为D，若PA⊥PD，证明：直线l的斜率为定值.

【分析】(1)解方程组即可;(2)先设出直线AB的方程，然后联立双曲线方程和直线方程，根据PA⊥PD，列出等量关系，进而求出AB斜率.

【备注】

(1)之所以收录此题，是因为解法最后对关于x1和x2非对称的等式的处理.通过上面解法的分析，我们知道，最终等式除了得到k=-3之外，还可以得到t=3k-1，t=1-3k.不难验证，若t=3k-1，此时直线l过点Q，且B，Q重合；若t=1-3k，此时直线l过点P，且A，P重合.两种情况与题干中l不过P，Q相矛盾，所以k=-3.有的参考答案并没有指明这一点，所以笔者进行纠正并加以强调.

(2)本题也可以进行如下的转化：由双曲线第三定义，kPB·kPD=1，又PA⊥PD，所以kPA+kPB=0.所以问题可以转化为经典的斜率和与斜率积为定值的问题了.这样一来，问题不但对称了，而且还可以利用齐次化方法简单处理，详细可参见图文《圆锥曲线的统一性（十一）》.

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