【学习导引】本节的内容接上两期:
讨论集合运算的综合例题。
1、德摩根(De Morgan)定律:
①.(“交之补”等于“补之并”)
下面我们举例说明:
【例题1】已知全集,,,,则( ).
..
.
..
..
详解:利用德摩根定律,结合图,可以很便捷的分析集合与全集的关系.
根据德摩根定律可得:
.
∵,
∴.
此处已经能够判断选项是正确的,下面我们继续分析集合中的元素.
∵,
∴元素在集合中,但不在集合中.
∵,
∴元素在集合中,但不在集合中.
结合,可知:
集合,集合,
由以上结论画出图如下:
【例题2】已知全集,集合,,若,则的值为( ).
..
.
.或.
.或.
分析:根据,可知,由此可求得参数,解一元二次方程可以得到集合;再根据集合满足的条件确定集合中包含的某些元素,即一元二次方程的根,进而确定参数.
详解:∵,
∴,代入至方程得:
,解得:.
所以,集合中的一元二次方程为.
解该方程得:.
∴集合.
∵,
∴,(若,则,则,这与矛盾).
所以,代入至方程得:
,
化简得:.
解得:
检验或是否都满足题意:
①当时,方程,
解得:.
此时,集合;
∴成立,符合题意;
②当时,方程,
解得:.
此时,集合=,
则,不合题意,
所以,舍去.
综上所述,.
答案:.
【例题3】设集合,,.
(1)若,求的取值范围;
(2)若,求的取值范围.
分析:(1)根据已知条件可分别得到集合的取值范围和方程解得参数表达,此时我们发现如果根据的条件进行分类讨论,需要讨论4种情况,此时我们采用补集思想进行求解:求时的取值范围,再求补集即可;
(2)根据,得到,再根据原命题与其逆否命题等价,则,即且,解不等式组即可。
详解:(1)∵,
∴或.
∴或,.
∵,
∴.
①当,即时,
.
此时不成立,舍去;
②当,即时,
方程的两根为
.
若使得成立,
则需或成立
∵.
∴或,
解得:.
则成立时,或.
(2)∵,∴.
根据原命题与其逆否命题等价,
则有:.
由(1)可知:,
①当,即时,
成立.
②当,即时,
集合.
若使得成立,
则需满足且.
∴且,
解得:.
综上所述,的取值范围是.
【例题4】某班举行数理化竞赛,每人至少参加一科,已知参加数学竞赛的有27人,参加物理竞赛的有25人,参加化学竞赛的有27人,其中参加数学、物理两科的有10人,参加物理、化学两科的有7人,参加数学、化学两科的有11人,而参加数、理、化三科的有4人,则全班人数为___.
解析:设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为.由题意可知,集合中的元素个数分别为,集合,,,中的元素个数分别为.画出图,如图所示:
【刊误说明】上期文章
中有一处刊误:
红色方框处应改为:且.
特此更正!
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