【高中数学精讲】集合与函数—集合的运算（3）综合例题讲解

【学习导引】本节的内容接上两期：

讨论集合运算的综合例题。
1、德摩根(De Morgan)定律:
①.（“交之补”等于“补之并”）

②.（“并之补”等于“补之交”）

德摩根定律可以实现交、并、补集运算的相互转化。
2、解答有关交、并、补集综合运算的题目，时常借助于图、数轴等工具，采用数形结合的思想，但是在解答过程中要注意集合性质的等价转化（利用德摩根定律，如【例题1】和【例题3】）。
3、当题设条件中含有“至少”“至多”等词语且包含的情况较多时，为了避免分类讨论，我们可以利用补集思想来求解，即采用“正难则反”的原则从问题的对立面出发进行求解，最后取相应的集合的补集（如【例题3】）。
4、以集合的运算为载体，常常会出现诸如求参数取值范围，借助补集思想解决问题以及定义新概念、新运算和实际应用问题，解决这些问题时，要注意利用数轴数形结合处理。而对新概念、新运算问题，解决的关键是正确理解新概念或运算，再结合集合的运算来处理。

下面我们举例说明：

【例题1】已知全集,,,,则（）.
..
.
..
..
详解：利用德摩根定律，结合图，可以很便捷的分析集合与全集的关系.
根据德摩根定律可得:
.
∵,
∴.
此处已经能够判断选项是正确的，下面我们继续分析集合中的元素.
∵,
∴元素在集合中，但不在集合中.
∵,
∴元素在集合中，但不在集合中.
结合，可知：
集合,集合, 由以上结论画出图如下：

可以看出：.
答案：.

【例题2】已知全集,集合,,若,则的值为（）.
..
.
.或.
.或.
分析：根据,可知,由此可求得参数,解一元二次方程可以得到集合；再根据集合满足的条件确定集合中包含的某些元素，即一元二次方程的根，进而确定参数.
详解：∵,
∴,代入至方程得:
,解得:.
所以，集合中的一元二次方程为.
解该方程得:.
∴集合.
∵,
∴，（若，则，则,这与矛盾）.
所以，代入至方程得：
,
化简得：.
解得:
检验或是否都满足题意：
①当时，方程,
解得:.
此时，集合;
∴成立，符合题意；
②当时，方程,
解得:.
此时，集合=,
则,不合题意，
所以，舍去.
综上所述，.
答案：.

【例题3】设集合,,.
（1）若,求的取值范围；
（2）若,求的取值范围.
分析：（1）根据已知条件可分别得到集合的取值范围和方程解得参数表达，此时我们发现如果根据的条件进行分类讨论，需要讨论4种情况，此时我们采用补集思想进行求解:求时的取值范围，再求补集即可；
（2）根据,得到,再根据原命题与其逆否命题等价，则,即且，解不等式组即可。
详解：（1）∵,
∴或.
∴或,.
∵,
∴.
①当，即时，
.
此时不成立，舍去；
②当，即时，
方程的两根为
.
若使得成立，
则需或成立
∵.
∴或，
解得:.
则成立时，或.
（2）∵,∴.
根据原命题与其逆否命题等价,
则有：.
由（1）可知：,
①当，即时，
成立.
②当，即时，
集合.
若使得成立，
则需满足且.
∴且,
解得：.
综上所述，的取值范围是.

【例题4】某班举行数理化竞赛,每人至少参加一科,已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，则全班人数为___.
解析:设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为.由题意可知,集合中的元素个数分别为,集合,,,中的元素个数分别为.画出图，如图所示:

故全班人数为.
答案：.

【刊误说明】上期文章

【高中数学精讲】集合与函数—集合的运算（2）并集和补集

中有一处刊误：

红色方框处应改为：且.
特此更正！

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