本试题参考自北京师范大学2023年数学分析与高等代数解析几何考研真题，下面给出小编自己作出的解答（解析几何部分除外）. 若有疑问可在本公众号聊天界面进行留言，希望可以帮助到大家学习.
第1题这种行列式确实很常见了！法一是观察到每行都有相同元素所以采用升阶法，法二是观察到行列式可以表为数量阵+秩1阵的行列式，于是采用秩1矩阵的性质与例题赏析的技巧进行计算. 法三是观察到行列式每行元素之和都相同，所以可以把其余列都加到第一列去计算. 三种方法哪种熟悉用哪个！
第2题注意二次型x'Ax的矩阵是(A+A')/2，不要搞错二次型的矩阵，因为二次型的矩阵是实对称的. 找到二次型的矩阵B后，观察到矩阵B的特征多项式的计算仍可以使用第1题的三种方法，也是哪种方法熟悉用哪种即可. 之后的计算就是常规操作了.
当然如果方程组的基础解系选得不好，还要进行施密特正交化计算量还是比较大的. 这是可以采取一些技巧，即对于线性方程组(B-2E)x=0，选它的一个解ξ1=(1,-1,0)'，想选出另外一个解ξ2使得ξ1与ξ2正交，可以把ξ1中'1'与'-1'的位置交换，其中一个加上负号，得到ξ2=(1,1,a)'，于是
(ξ1,ξ2)=1*1+1*(-1)+0*a=0.
于是只要选取适当a使得ξ2满足方程组(B-2E)x=0即可. 从而ξ2=(1,1,-2)'.
第二种情况是存在非零有理系数多项式以c为根，这种复数称为代数数.（可以证明有理数是代数数，无理数sqrt(2)是代数数，n次单位根是代数数等）对代数数c而言，J中有非零多项式，于是可以讨论非零多项式的次数，而多项式的次数最低为0，所以J中存在最低次的多项式. 结合题目对p(x)描述，也提示我们找J中次数最低的多项式的思路是对的. 参照2023年湖南大学高等代数学硕真题参考答案第3题的思路，我们要对J中任一多项式f(x)与J中最低次多项式作带余除法，通过反证法说明余式为0，从而得到结论.
事实上，在复旦大学高等代数习题课在线课程中，本题定义的首一有理系数多项式p(x)为复数c的最小多项式. 也就是说超越数的最小多项式为零多项式，代数数的最小多项式为非零多项式. 事实上可以证明代数数的最小多项式是有理数域上不可约多项式. 假设代数数c的最小多项式p(x)在有理数域上可约，则存在次数比p(x)的有理系数多项式g(x),h(x)使得p(x)=g(x)h(x)，代入x=c可得g(c)=h(c)=0，于是c均是g(x),h(x)的根，这与p(x)的次数最小性矛盾. 反过来也可以证明J中首一不可约多项式就是代数数c的最小多项式，证明交给读者.
第4题注意到V是一个抽象的线性空间，不是狭义上的向量空间，所以要将抽象的线性空间转为为狭义上向量空间的语言（不要被'V是R上的向量空间'这句话搞混淆，课本说'线性空间'又称'向量空间'，这是因为'线性空间'中的元素被称为'向量'，但不一定是真的向量）.
具体做法是取V的一组基，然后把α1,α2,···,αn在这组基下的坐标写出来，这才是狭义上的向量，即γ1,γ2,···,γn，才好用矩阵，线性方程组等理论进行解决.
第5题考察的是正定矩阵A的Cholesky分解. 第(1)问法一是按A的阶数n进行归纳，采用数学归纳法进行证明. 这一方法涉及到分块矩阵的合同变换，具体可见合同变换下的降阶法. 法二采用两个结论，一个是A正定的充要条件是存在实可逆矩阵P使得A=P'P，另一个是对于实可逆矩阵P，存在正交矩阵T以及主对角元素全为正数的上三角阵U使得P=TU（来自课本第九章习题14，具体证明过程就是把P的列向量按施密特正交化化为标准正交基，事实上还可以证明T,U是唯一的），于是得到结论.
第(2)问法一是按照C中每一元素的计算过程得到的，具体依据就是计算方法课程中对正定矩阵A用平方根法分解的计算步骤，可用数学归纳法证明C中每行元素都被A的元素唯一确定，从而得到C被A唯一确定.
法二是参考另一种分解方式，即正定矩阵A可以分解为A=B'ΛB，其中B是主对角元素全为1的上三角阵，Λ是正定对角矩阵. 从而构造主对角元素全为1的上三角阵C1与D1，由于这种分解式也是唯一的，所以C1=D1. 从而去证明C=D.
事实上，正定矩阵的Cholesky分解是LU分解的特例，A的各阶顺序主子式非零的充要条件是A=LU，其中L是主对角元素为1的下三角矩阵，U是上三角矩阵，即A存在LU分解（这个结论2013年湘潭大学有考察，具体见合同变换下的降阶法例7），事实上LU分解中的下三角阵L与上三角阵U是唯一的. 所以A是正定矩阵的充要条件是A存在Cholesky分解，且这种分解是唯一的，充分性的证明交给读者. 同理，A是正定矩阵的充要条件是存在主对角元素全为1的上三角阵B以及正定对角矩阵Λ使得A=B'ΛB，且这种分解也是唯一的，证明还是交给读者.
LU分解是计算方法课程中处理解线性方程组的方法，由A可逆可得线性方程组Ax=0有唯一解. 但A的各阶顺序主子式非零是一种特殊的可逆矩阵，于是有这一结论把各阶顺序主子式非零推广至可逆情形：若A是可逆矩阵，则存在置换矩阵P，使得PA=LU，其中L是主对角元素为1的下三角矩阵，U是上三角矩阵. 置换矩阵P是指P的每一行与每一列恰好有一个元素为1，其余元素为0，只要证明存在置换阵P使得PA的各阶顺序主子式非零，交给读者完成.
第6题是考研常客了，来自课本总练习题第38题，而且只要证明一个方向，难度减半了.
总体而言，本套试题相对简单（解析几何部分在网上找不到，不评价）. 总体而言都是考察比较中规中矩的解题方法与解题技巧. 所以加强自信加强练习是有很大考高分可能的. 希望大家能够一战成硕！
注：本文中所指的高代课本指的是小编所用的北京大学前代数小组编（王萼芳，石生明修订）的《高等代数（第四版）》，而第五版课本内容与之大致相同，读者可作相应参考.
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