第三节：
解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）。
解：（1）注意到：
令，则上式等价于
当或时，条件式显然成立，当时，上式等价于：
两侧积分得
即
综上所述，
其中为任意常数。
（2）注意到：
令，则上式等价于
则有：
两侧积分得
则有：
其中为任意常数。
（3）注意到：
则有：
两侧积分得
其中为任意常数。
（4）注意到：
则有：
两侧积分得
则
其中为任意常数。
（5）注意到：
则有：当时，，此时显然等式成立。当时，则有：
两侧积分得
其中为任意常数。
（6）注意到：
令，则有：
当时，，此时显然符合条件，当时，有：
两侧积分得
则
或
其中为任意常数。
第四节：
1.解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9），其中为连续可微函数。
解：（1）由求解公式，得
其中为任意常数。
（2）由求解公式，得
其中为任意常数。
（3）由求解公式，得
其中为任意常数。
（4）由求解公式，得
其中为任意常数。
（5）由求解公式，得
其中为任意常数。
（6）注意到：
由求解公式，得
则有：
其中为任意常数。
（7）注意到：
由求解公式，得
则有：
其中为任意常数。
（8）显然，为方程的一组特解，且方程的通解为，则原方程的通解为
其中为任意常数。
（9）显然，为方程的一组特解，且方程的通解为，则原方程的通解为
其中为任意常数。
2.设在上连续可微，且，证明：。
证明：设方程：，则，则对任意的，存在，使得，记，由单调性，存在，使得当时，有，则注意到该方程的解为
对，有：
则。
3.设于上连续，且当时，，为一常数，证明：当时，方程
的所有解都满足，当时，满足上述条件的解唯一。
证明：事实上，当时，第2题的过程应用，知都成立，则，此时则有，即。
而当时，由：
类似上面第2题的操作可得为有界量，当时，为无界量，此时显然的解不收敛至。当时，此时借助（2）的证明过程，易证。则满足的解唯一。
4.均为上的周期函数，则
（1）方程的任何非零解均为周期的，当且仅当
（2）当时，方程存在唯一周期解的充要条件为。
证明：（1）注意到对非零的，有：
其等价于两侧积分，得
注意到，则有：
（2）当时，设上式的一个特解为，的通解为，则由（1）知均为周期的，则均为周期的，或均不为周期的，必不唯一。
当时，设上式的解为
下面说明存在性：考虑满足的解，则有：
唯一性：若存在不同的解为两个不同的符合条件的函数，则由一阶线性方程的解理论，，则有：
则，矛盾！
综上所述，当时，方程存在唯一周期解的充要条件为。
5.设函数在上连续且有界，证明：方程
仅有一个在上有界的解，且当为周期函数时，该有界解为周期解。
证明：当第3题中，类似（2），令时，当时，此时发散，而当时，类似可得其有界。而若为周期函数，则注意到为周期函数，则利用第4题（2），该方程必有唯一周期解，必为该有界解，不然将矛盾于在正无穷附近有界，这也是类似第3题（2）易证的。
6.已知于上连续，若函数满足
则
证明：只证小于号一侧，大于号一侧同理可证。考虑函数，则有：
两侧积分移项整理得
联系客服
