强基物理：从“质心计算”到“自然数平方求和公式”

在求解一道求质心位置的题目时，遇到需要用“自然数平方求和公式”，即 $1^2+2^2+3^2+···+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 一时记不清，便好奇这公式有没有方便的推导方法帮助记忆，搜索后发现某知乎大神列出了12种方法。

有趣的是，其中一种又用到了建立物理模型求质心的方法，来推导该公式，细细一看，该过程又可作为最开始那个求质心的题目的等效解法，形成了一个思维闭环，特此分享。

【题目】
如图，一根细长的硬棒上有 $n$ 个小球,每个小球之间相距 $a$ ,小球质量从 $m$ 、 $2m$ 、 $3m$ 逐渐增大到 $nm$ ,棒重不计,求整个体系的重心位置。

【分析与解答】

因为本问题中重力加速度 $g$ 处处相同，所以求重心位置，实际就是求质心位置。

质心计算公式为 $x_c=\frac{\sum m_ix_i}{\sum m_i}$ ，本问题中取最左端为坐标原点，水平向右建立一维坐标系，则有 $x_c=\frac{ma+2m·2a+3m·3a+···+nm·na}{m+2m+3m+···+nm}$ $=\frac {1^2+2^2+3^2+···+n^2}{1+2+3+···+n}a$ 带入求和公式可得 $x_c=\frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}}a=\frac{2n+1}{3}a$ 【推导自然数平方求和公式】【物理建模方法】
如图所示，在正三角形区域构建均匀分布的质点群（每个质点的质量均为 $m$ ）：

（1）根据正三角形的几何特点，结合质量均匀分布（整体来看，可等效为均匀），重心(质心)是在三条中线的交点处，由数学知识知，坐标为 $x_c=a+\frac{2}{3}(n-1)a=\frac{2n+1}{3}a$ （2）根据质心位置公式可写出 $x_c$ $=\frac {1^2+2^2+3^2+···+n^2}{\frac{n(n+1)}{2}}a$ （3）由 $x_c=x_c$ ，解得 $1^2+2^2+3^2+···+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

【反思】
注意到，在上述过程的第（1）步时，最后的结果恰为原题目的最终解，偶然必然？

将两张图放在一起对比：

本质上，其实就是把题目中线性非均匀的质点分布，转换成了二维质点均匀分布的模型就可以进行等效求解（利用对称性，不影响 $y$ 方向的质心坐标，等效求解 $x$ 方向即可）。

转换的好处是，规则形状、质点均匀分布的二维图形的质心是容易从几何角度确定的。

【补充】
实际上，在原书中，标准答案用找规律的方法，代替了对“自然数平方求和公式”的使用，因为在物理解答中不要求证明，找到规律使用即可，该法也值得借鉴，展示如下：（横屏观看）

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