高考必考的圆锥曲线问题

圆锥曲线历来作为难题和压轴题出现，考察形势多种多样，且与函数相结合的动点问题，其求解难度和计算量都不小。本篇重点总结一下圆锥曲线动点求轨迹方程的问题。

已知半径为R的圆和圆上一动点P，圆外一定点M(x0，y0)，连接P与M点形成线段L，做L的垂直平分线，交于P与圆心所在的直线与N点，求N点的轨迹方程。

注意：今年来高考数学卷，涉及到的相关图形不给出，已经成为趋势。目的是考察同学们的空间想象能力。遇到这样的情况，首先要正确理解题意，按照题意给定的已知条件进行画图，便于找出等量关系进而求解。

解题步骤如下：

根据题意画图（略），建立坐标系（以圆心为原点）
设点N（x，y），P(x1，y1) , 圆心O(0，0)
利用已知条件找等量关系：垂直平分线\PM线段，表示出PM中点，建立两条直线，结合P为圆上的动点，即圆的方程。用N、M点表示出P点坐标，带入圆的方程即可获得关于N点的轨迹方程（双曲线方程）。
检验自变量的取值范围，很多同学往往忘记这一步！导致高考失分。

本题思路虽然较为简单和计算量也不大，但却是很适合作为一个母题出现。关键是利用等量关系，利用待求量表示出圆锥曲线的动点，带入曲线方程后，整理化简得到相关轨迹。

轨迹方程的一般方法总结：

定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程。
直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系(几何、三角或者向量表达式等)，这些条件简单明确，易于表述成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。例如：本题中垂直平分线与中点的关系。
几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质(如直线垂直，线段垂直平分线，角平分线，直角三角形斜边中线等于斜边一半等)，可以列出几何等式，再带入点坐标求出轨迹方程，这种方法被称为几何法。例如本题中直线斜率。　　　　　　
AB表示法：已知P点坐标满足曲线方程，可以使用动点M的坐标（x，y）表示相关点P的坐标（X0、Y0），然后代入点P所满足的曲线方程，整理化简便得到动点M轨迹方程。例如：N点表示中点，最终表示P点
引参消参法：遇到动点坐标x、y之间的直接关系难表达时，考虑寻找x、y与某一变量a的关系，消掉参数a，得到方程，即为动点的轨迹方程。例如本题引入的P点坐标
联立消参法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程。例如，本题中消掉斜率

注意：圆锥曲线作为解答题出现，一般需要综合灵活使用以上的方法进行求解。

求动点的轨迹方程的基本步骤总结

圆锥曲线解题要点总结

求轨迹方程，要注意将目标范围缩小，一般是以圆锥曲线的基础形式为依托的。所以最终的解题目标也应向其靠拢。这一条也用于检验所求方程是否正确的金标准！
关于圆锥曲线的考察，采用的应用场景与中国传统——折纸关联。如果这道题增加了一些场景后，例如对折等，要转化成相应的几何等量关系。对于一些空间想象薄弱的同学，平时多拿出几张纸来折一折，不同的折法，有哪些等量关系。

高考加油

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