【每周三题】高一【233】应用圆锥摆模型解决问题

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【题头】

圆锥摆是高中物理中一个非常重要的运动模型，我们所遇到的题目往往结合了实际运动情景。今天我们通过两道教材的习题，对圆锥摆模型进行拓展分析。

【例题1】

（人教版物理必修二p42复习与提高B组第5题）如图所示，质量为m的小球用细线悬于B点，使小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g。

（1）若悬挂小球的绳长为l，小球做匀速圆周运动的角速度为ω，绳对小球的拉力F有多大？

（2）若保持轨迹圆的圆心O到悬点B的距离h不变，改变绳长l，求小球做匀速圆周运动的角速度ω与绳长l的关系。

（3）若保持轨迹圆的圆心O到悬点B的距离h不变，改变绳长l，求绳对A球的拉力F与绳长l的关系。

【答案】

    (1)

；(2)角速度与无关；(3)

【解析】

(1)设绳与竖直方向的夹角为，由合力提供向心力

得，解得

(2)保持轨迹圆的圆心

到悬点B的距离

不变，改变绳长，根据牛顿第二定律得

解得

，可知角速度

无关。

【例题2】

（人教版物理必修二p41复习与提高A组第7题）如图所示，半径为 R 的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心 O 的对称轴 OO′重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为 m 的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为 0，且它和 O 点的连线与 OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度为g。求转台转动的角速度。

【解析】  

请同学们注意解题要点：虽然运动情景不同但是通过受力分析发现，如果小物块受到的摩擦力恰好为 0，则小物块只受到支持力和重力的作用，这个受力情景与圆锥摆模型是完全吻合的，那么我们在解决问题的时候就可以按照圆锥摆模型进行进一步分析。

物块受重力mg、支持力N，它们的合力提供向心力，受力分析如图所示。

【拓展】

若改变转台的角速度

，当时，小物块仍与罐壁相对静止，求此时小物块受到的摩擦力的大小和方向。

【答案】

方向与罐壁相切斜向下

【解析】  

如果陶罐的角速度增大，根据  F_向= mRsinθω² ，所需向心力也增大。因此还需要摩擦力的分力提供向心力，则摩擦力沿陶壁向下，小物块相对陶壁有向上的运动趋势，受力如图所示。

水平方向：F_fcosθ+Nsinθ=mω²Rsinθ

竖直方向：Ncosθ-F_fsinθ=mg

带入具体数据，则有       

联立解得

，方向与罐壁相切斜向下（或与竖直成30°斜向左下方）。

【小结】

同学们，圆锥摆在实际中还有很多应用，你可以通过读书、上网、请教专业人员等多种途径进一步学习和了解，做好总结和积累。